D

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$BC=6$，$AC=8$，
$\therefore AB=\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$，
若$\angle ACP=45^{\circ}$，则$CP$是$\angle ACB$的平分线，
$\because AC\neq BC$，
$\therefore CP\neq \frac{1}{2}AB=5$，故$A$选项错误；
若$\angle ACP=\angle B$时，
$\because \angle BCP+\angle ACP=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BCP+\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore CP\bot AB$，
$\therefore CP=\frac{AC•BC}{AB}=\frac{6×8}{10}=\frac{24}{5}$，故选项$B$，$C$错误，选项$D$正确，
故选：$D$.