$\because$等腰三角形的一个外角为$116^{\circ}$，
$\therefore$有以下两种情况：
①当这个外角是等腰三角形顶角相邻的外角时，
则这个等腰三角形的顶角为：$180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$，
$\therefore$这个等腰三角形的底角为：$\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-64^{\circ}\right)=58^{\circ}$，
此时该等腰三角形的三个内角的度数为：$58^{\circ}$，$58^{\circ}$，$64^{\circ}$，符合题意；
②当这个外角是等腰三角形底角相邻的外角时，
则这个等腰三角形的底角为：$180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$；
$\therefore$等腰三角形的顶角为：$180^{\circ}-2\times 64^{\circ}=52^{\circ}$，
此时该等腰三角形的三个内角分别为$64^{\circ}$，$64^{\circ}$，$52^{\circ}$，符合题意；
综上所述：该等腰三角形的底角为$58^{\circ}$或$64^{\circ}$.
故答案是：$58$或$64$.

$\because$等腰三角形的一个外角为$116^{\circ}$，
$\therefore$有以下两种情况：
①当这个外角是等腰三角形顶角相邻的外角时，
则这个等腰三角形的顶角为：$180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$，
$\therefore$这个等腰三角形的底角为：$\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-64^{\circ}\right)=58^{\circ}$，
此时该等腰三角形的三个内角的度数为：$58^{\circ}$，$58^{\circ}$，$64^{\circ}$，符合题意；
②当这个外角是等腰三角形底角相邻的外角时，
则这个等腰三角形的底角为：$180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$；
$\therefore$等腰三角形的顶角为：$180^{\circ}-2\times 64^{\circ}=52^{\circ}$，
此时该等腰三角形的三个内角分别为$64^{\circ}$，$64^{\circ}$，$52^{\circ}$，符合题意；
综上所述：该等腰三角形的底角为$58^{\circ}$或$64^{\circ}$.
故答案是：$58$或$64$.