$\because$非零数$a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$|m|=3$，
$\therefore a+b=0$，$cd=1$，$m=\pm 3$，
当$m=3$时，$\left(cd\right)^{2016}+\left(a+b\right)^{2024}+m$
$=1^{2016}+0^{2024}+3$
$=1+0+3$
$=4$；
当$m=-3$时，$\left(cd\right)^{2016}+\left(a+b\right)^{2024}+m$
$=1^{2016}+0^{2024}+\left(-3\right)$
$=1+0+\left(-3\right)$
$=-2$；
由上可得，$\left(cd\right)^{2016}+\left(a+b\right)^{2024}+m$的值为$4$或$-2$.

$\because$非零数$a$、$b$互为相反数，$c$、$d$互为倒数，$|m|=3$，
$\therefore a+b=0$，$cd=1$，$m=\pm 3$，
当$m=3$时，$\left(cd\right)^{2016}+\left(a+b\right)^{2024}+m$
$=1^{2016}+0^{2024}+3$
$=1+0+3$
$=4$；
当$m=-3$时，$\left(cd\right)^{2016}+\left(a+b\right)^{2024}+m$
$=1^{2016}+0^{2024}+\left(-3\right)$
$=1+0+\left(-3\right)$
$=-2$；
由上可得，$\left(cd\right)^{2016}+\left(a+b\right)^{2024}+m$的值为$4$或$-2$.