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八年级数学解答题一般
题目
如图,在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,∠BAC=120∘\angle BAC=120^{\circ},点DD在BCBC边上运动（不与点BB,CC重合),点EE在ABAB边上,在点DD的运动过程中,始终保持∠ADE=30∘\angle ADE=30^{\circ}.
(1)(1)当点DD运动到BD=ABBD=AB时,求证:BE=CDBE=CD；
(2)(2)当△ADE\triangle ADE是等腰三角形时,求∠CAD\angle CAD的度数.
知识点：展开图折叠成几何体、三角形内角和定理、全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形全等的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=120∘\angle BAC=120^{\circ}，
∴∠B=∠C=30∘\therefore \angle B=\angle C=30^{\circ}，
∵BD=AB\because BD=AB，
∴∠BAD=∠BDA=12×(180∘−30∘)=75∘\therefore \angle BAD=\angle BDA=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)=75^{\circ}，
∴∠ADC=180∘−∠BDA=105∘\therefore \angle ADC=180^{\circ}-\angle BDA=105^{\circ}，
∵∠ADE=30∘\because \angle ADE=30^{\circ}，
∴∠BDE=∠BDA−∠ADE=45∘\therefore \angle BDE=\angle BDA-\angle ADE=45^{\circ}，
∴∠BED=180∘−30∘−45∘=105∘=∠ADC\therefore \angle BED=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}=\angle ADC，
∵AB=AC\because AB=AC，BD=ABBD=AB，
∴BD=AC\therefore BD=AC，
在△BDE\triangle BDE和△CAD\triangle CAD中，
{∠BED=∠ADC∠B=∠CBD=AC\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠ADC}\\{∠B=∠C}\\{BD=AC}\end{array}\right.，
∴△BDE\therefore \triangle BDE≌△CAD(AAS)\triangle CAD\left(AAS\right)，
∴BE=CD\therefore BE=CD；
(2)(2)△ADE\triangle ADE为等腰三角形时分三种情况：
①当AD=AEAD=AE时，∠ADE=30∘\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠AED=∠ADE=30∘\therefore \angle AED=\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠DAE=180∘−∠ADE−∠AED=120∘\therefore \angle DAE=180^{\circ}-\angle ADE-\angle AED=120^{\circ}，
∵∠BAC=120∘\because \angle BAC=120^{\circ}，DD不与BB、CC重合，
∴AD≠AE\therefore AD\neq AE；
②当DA=DEDA=DE时，∠ADE=30∘\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠DAE=∠DEA=12×(180∘−∠ADE)=75∘\therefore \angle DAE=\angle DEA=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle ADE\right)=75^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAC−∠DAE=120∘−75∘=45∘\therefore \angle CAD=\angle BAC-\angle DAE=120^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}；
③当EA=EDEA=ED时，∠ADE=30∘\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠DAE=∠EDA=30∘\therefore \angle DAE=\angle EDA=30^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAC−∠DAE=120∘−30∘=90∘\therefore \angle CAD=\angle BAC-\angle DAE=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}；
综上可知，∠CAD\angle CAD的度数为45∘45^{\circ}或90∘90^{\circ}.

解析

(1)(1)证明：∵AB=AC\because AB=AC，∠BAC=120∘\angle BAC=120^{\circ}，
∴∠B=∠C=30∘\therefore \angle B=\angle C=30^{\circ}，
∵BD=AB\because BD=AB，
∴∠BAD=∠BDA=12×(180∘−30∘)=75∘\therefore \angle BAD=\angle BDA=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-30^{\circ}\right)=75^{\circ}，
∴∠ADC=180∘−∠BDA=105∘\therefore \angle ADC=180^{\circ}-\angle BDA=105^{\circ}，
∵∠ADE=30∘\because \angle ADE=30^{\circ}，
∴∠BDE=∠BDA−∠ADE=45∘\therefore \angle BDE=\angle BDA-\angle ADE=45^{\circ}，
∴∠BED=180∘−30∘−45∘=105∘=∠ADC\therefore \angle BED=180^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=105^{\circ}=\angle ADC，
∵AB=AC\because AB=AC，BD=ABBD=AB，
∴BD=AC\therefore BD=AC，
在△BDE\triangle BDE和△CAD\triangle CAD中，
{∠BED=∠ADC∠B=∠CBD=AC\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠ADC}\\{∠B=∠C}\\{BD=AC}\end{array}\right.，
∴△BDE\therefore \triangle BDE≌△CAD(AAS)\triangle CAD\left(AAS\right)，
∴BE=CD\therefore BE=CD；
(2)(2)△ADE\triangle ADE为等腰三角形时分三种情况：
①当AD=AEAD=AE时，∠ADE=30∘\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠AED=∠ADE=30∘\therefore \angle AED=\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠DAE=180∘−∠ADE−∠AED=120∘\therefore \angle DAE=180^{\circ}-\angle ADE-\angle AED=120^{\circ}，
∵∠BAC=120∘\because \angle BAC=120^{\circ}，DD不与BB、CC重合，
∴AD≠AE\therefore AD\neq AE；
②当DA=DEDA=DE时，∠ADE=30∘\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠DAE=∠DEA=12×(180∘−∠ADE)=75∘\therefore \angle DAE=\angle DEA=\frac{1}{2}\times \left(180^{\circ}-\angle ADE\right)=75^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAC−∠DAE=120∘−75∘=45∘\therefore \angle CAD=\angle BAC-\angle DAE=120^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}；
③当EA=EDEA=ED时，∠ADE=30∘\angle ADE=30^{\circ}，
∴∠DAE=∠EDA=30∘\therefore \angle DAE=\angle EDA=30^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAC−∠DAE=120∘−30∘=90∘\therefore \angle CAD=\angle BAC-\angle DAE=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}；
综上可知，∠CAD\angle CAD的度数为45∘45^{\circ}或90∘90^{\circ}.

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