如图,$\triangle OAB$和$\triangle OCD$中,$OA=OB$,$OC=OD$,$\angle AOB=\angle COD=\alpha$,$AC$、$BD$交于$M$

$(1)$如图$1$,当$\alpha =90^{\circ}$时,$\angle AMD$的度数为______$^{\circ}$
$(2)$如图$2$,当$\alpha =60^{\circ}$时,$\angle AMD$的度数为______$^{\circ}$
$(3)$如图$3$,当$\triangle OCD$绕$O$点任意旋转时,$\angle AMD$与$\alpha$是否存在着确定的数量关系?如果存在,请你用$\alpha$表示$\angle AMD$,并用图$3$进行证明；若不确定,说明理由.