$\because c$是方程$x^{2}-16=0$的一个根，
$\therefore c=4$.
分两种情况：
①$c=4$是底边，
方程$x^{2}-kx+12=0$的判别式$\Delta =k^{2}-4\times 12=0$，
解得$k=\pm 4\sqrt{3}($负值舍去），
$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$4$满足三角形三边关系定理，符合题意；
②$c=4$是腰，
将$x=4$代入$x^{2}-kx+12=0$，
得$4^{2}-4k+12=0$，
解得$k=7$，
$4$，$4$，$3$满足三角形三边关系定理，符合题意.
故$k$的值为$4\sqrt{3}$或$7$.

$\because c$是方程$x^{2}-16=0$的一个根，
$\therefore c=4$.
分两种情况：
①$c=4$是底边，
方程$x^{2}-kx+12=0$的判别式$\Delta =k^{2}-4\times 12=0$，
解得$k=\pm 4\sqrt{3}($负值舍去），
$2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3}$，$4$满足三角形三边关系定理，符合题意；
②$c=4$是腰，
将$x=4$代入$x^{2}-kx+12=0$，
得$4^{2}-4k+12=0$，
解得$k=7$，
$4$，$4$，$3$满足三角形三边关系定理，符合题意.
故$k$的值为$4\sqrt{3}$或$7$.