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八年级数学填空题一般
题目
有一个三角形纸片ABCABC,∠C=36∘\angle C=36^{\circ},点DD是ACAC边上一点,沿BDBD方向剪开三角形纸片后,发现所得的两纸片均为等腰三角形,则∠A\angle A的度数可以是______.
知识点：等腰三角形的性质、轴对称图形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

由题意知△ABD\triangle ABD与△DBC\triangle DBC均为等腰三角形，
①BC=CDBC=CD，此时∠CDB=∠DBC=(180∘−∠C)÷2=72∘\angle CDB=\angle DBC=\left(180^{\circ}-\angle C\right)\div 2=72^{\circ}，
∴∠BDA=180∘−∠CDB=180∘−72∘=108∘\therefore \angle BDA=180^{\circ}-\angle CDB=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}，
AB=ADAB=AD时，∠ABD=108∘(舍去)\angle ABD=108^{\circ}(舍去)；
或AB=BDAB=BD，∠A=108∘(舍去)\angle A=108^{\circ}(舍去)；
或AD=BDAD=BD，∠A=(180∘−∠ADB)÷2=36∘\angle A=\left(180^{\circ}-\angle ADB\right)\div 2=36^{\circ}；
②BC=BDBC=BD，此时∠CDB=∠C=36∘\angle CDB=\angle C=36^{\circ}，
∴∠BDA=180∘−∠CDB=180∘−36∘=144∘\therefore \angle BDA=180^{\circ}-\angle CDB=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}，
AB=ADAB=AD时，∠ABD=144∘(舍去)\angle ABD=144^{\circ}(舍去)；
或AB=BDAB=BD，∠A=144∘(舍去)\angle A=144^{\circ}(舍去)；
或AD=BDAD=BD，∠A=(180∘−∠ADB)÷2=18∘\angle A=\left(180^{\circ}-\angle ADB\right)\div 2=18^{\circ}；
③CD=BDCD=BD，此时∠CDB=180∘−2∠C=108∘\angle CDB=180^{\circ}-2\angle C=108^{\circ}，
∴∠BDA=180∘−∠CDB=180∘−108∘=72∘\therefore \angle BDA=180^{\circ}-\angle CDB=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}，
AB=ADAB=AD时，∠A=180∘−2∠ADB=36∘\angle A=180^{\circ}-2\angle ADB=36^{\circ}；
或AB=BDAB=BD，∠A=72∘\angle A=72^{\circ}；
或AD=BDAD=BD，∠A=(180∘−∠ADB)÷2=54∘\angle A=\left(180^{\circ}-\angle ADB\right)\div 2=54^{\circ}.
综上所述，∠A\angle A的度数可以是18∘18^{\circ}或36∘36^{\circ}或54∘54^{\circ}或72∘72^{\circ}.
故答案为：18∘18^{\circ}或36∘36^{\circ}或54∘54^{\circ}或72∘72^{\circ}.

解析

由题意知△ABD\triangle ABD与△DBC\triangle DBC均为等腰三角形，
①BC=CDBC=CD，此时∠CDB=∠DBC=(180∘−∠C)÷2=72∘\angle CDB=\angle DBC=\left(180^{\circ}-\angle C\right)\div 2=72^{\circ}，
∴∠BDA=180∘−∠CDB=180∘−72∘=108∘\therefore \angle BDA=180^{\circ}-\angle CDB=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ}，
AB=ADAB=AD时，∠ABD=108∘(舍去)\angle ABD=108^{\circ}(舍去)；
或AB=BDAB=BD，∠A=108∘(舍去)\angle A=108^{\circ}(舍去)；
或AD=BDAD=BD，∠A=(180∘−∠ADB)÷2=36∘\angle A=\left(180^{\circ}-\angle ADB\right)\div 2=36^{\circ}；
②BC=BDBC=BD，此时∠CDB=∠C=36∘\angle CDB=\angle C=36^{\circ}，
∴∠BDA=180∘−∠CDB=180∘−36∘=144∘\therefore \angle BDA=180^{\circ}-\angle CDB=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}，
AB=ADAB=AD时，∠ABD=144∘(舍去)\angle ABD=144^{\circ}(舍去)；
或AB=BDAB=BD，∠A=144∘(舍去)\angle A=144^{\circ}(舍去)；
或AD=BDAD=BD，∠A=(180∘−∠ADB)÷2=18∘\angle A=\left(180^{\circ}-\angle ADB\right)\div 2=18^{\circ}；
③CD=BDCD=BD，此时∠CDB=180∘−2∠C=108∘\angle CDB=180^{\circ}-2\angle C=108^{\circ}，
∴∠BDA=180∘−∠CDB=180∘−108∘=72∘\therefore \angle BDA=180^{\circ}-\angle CDB=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}，
AB=ADAB=AD时，∠A=180∘−2∠ADB=36∘\angle A=180^{\circ}-2\angle ADB=36^{\circ}；
或AB=BDAB=BD，∠A=72∘\angle A=72^{\circ}；
或AD=BDAD=BD，∠A=(180∘−∠ADB)÷2=54∘\angle A=\left(180^{\circ}-\angle ADB\right)\div 2=54^{\circ}.
综上所述，∠A\angle A的度数可以是18∘18^{\circ}或36∘36^{\circ}或54∘54^{\circ}或72∘72^{\circ}.
故答案为：18∘18^{\circ}或36∘36^{\circ}或54∘54^{\circ}或72∘72^{\circ}.

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