A

如图，取$OA$中点$K$，连接$CK$，$EK$，则$OK=AK=4$，

$\because OE$是等边$\triangle AOB$的中线，
$\therefore OA=AB$，$AK=AE$，
$\because$以$AC$为边作等边三角形$ACD$，
$\therefore \angle CAD=\angle OAB=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD-\angle OAD=\angle OAB-\angle OAD$，即$\angle OAC=\angle BAD$，
$\therefore \triangle ACK$≌$\triangle ADE\left(SAS\right)$，
$\therefore CK=DE$，
$\therefore$当$DE$最小时，$CK$最小，当$CK\bot CE$时，$CK$最小，

$\therefore CK_{\min }=DE_{\min }$，
$\because \angle ADE=30^{\circ}$，$OK=AK=4$，
$\therefore CK=\frac{1}{2}OK=2$，
$\therefore CK_{\min }=DE_{\min }=2$.
故选：$A$.