已知$a$是最大的负整数,$b$是$-5$的相反数,$c=-|-2|$,且$a$、$b$、$c$分别是点$A$、$B$、$C$在数轴上对应的数.
$(1)$求$a$、$b$、$c$的值,并在数轴上标出点$A$、$B$、$C$.
$(2)$若动点$P$从点$A$出发沿数轴正方向运动,动点$Q$同时从点$B$出发也沿数轴正方向运动,点$P$的速度是每秒$3$个单位长度,点$Q$的速度是每秒$1$个单位长度,求运动几秒后,点$P$可以追上点$Q$?
$(3)$在数轴上是否存在点$M$,使点$M$到$A$,$B$,$C$,三点的距离之和等于$12$?若存在,请求出所有点$M$对应的数,若不存在,请说明理由.