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九年级数学填空题一般
题目
如图,线段AB=1AB=1,在线段ABAB上找一点CC,CC把ABAB分为ACAC和BCBC两段,其中AC<BCAC \lt BC,若ACCB=CBAB\frac{AC}{CB}=\frac{CB}{AB},则点CC就叫做线段ABAB的黄金分割点,其中ACCB\frac{AC}{CB}（或CBAB)\frac{CB}{AB})的值叫做黄金分割数.则黄金分割数是______.
知识点：角平分线的性质、等腰梯形的性质、黄金分割、相似三角形的判定与性质章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

∵AB=1\because AB=1，设BC=xBC=x，则AC=AB−BC=1−xAC=AB-BC=1-x，
∴\therefore根据ACBC=BCAB\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}可得：1−xx=x1\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}，
整理得：x2+x−1=0x^{2}+x-1=0，
∵Δ=12−4×1×(−1)=1+4=5>0\because \Delta =1^{2}-4\times 1\times \left(-1\right)=1+4=5 \gt 0，
∴x=−1±52\therefore x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}，
∴x1=5−12\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，x2=−1−52(x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}(不符合题意，舍去），
∴BC=5−12\therefore BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
∴CBAB=5−121=5−12\therefore \frac{CB}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
∴\therefore黄金分割数是5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
故答案为：5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

解析

∵AB=1\because AB=1，设BC=xBC=x，则AC=AB−BC=1−xAC=AB-BC=1-x，
∴\therefore根据ACBC=BCAB\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{AB}可得：1−xx=x1\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}，
整理得：x2+x−1=0x^{2}+x-1=0，
∵Δ=12−4×1×(−1)=1+4=5>0\because \Delta =1^{2}-4\times 1\times \left(-1\right)=1+4=5 \gt 0，
∴x=−1±52\therefore x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}，
∴x1=5−12\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，x2=−1−52(x_{2}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}(不符合题意，舍去），
∴BC=5−12\therefore BC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
∴CBAB=5−121=5−12\therefore \frac{CB}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{1}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
∴\therefore黄金分割数是5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
故答案为：5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

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