$\left(1\right)\because \angle DAE=\angle BAC$，
$\therefore \angle DAE+\angle CAD=\angle BAC+\angle CAD$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAE$，
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAD$≌$\triangle CAE\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE=2$.
故答案为：$2$；
$(2)$①当点$D$在线段$BC$的延长线上移动时，
由（1）知$\triangle BAD$≌$\triangle CAE$，
$\therefore \angle B=\angle ACE$，
$\because \angle ACD=\angle B+\angle BAC=\angle ACE+\angle DCE$，
$\therefore \angle BAC=\angle DCE$，
$\because \angle BAC=40^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=40^{\circ}$；
②当$D$在线段$BC$上时，如图$2$，
同理可证明：$\triangle ABD$≌$\triangle ACE\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ADB=\angle AEC$，$\angle ABC=\angle ACE$，
$\because \angle ADC+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC+\angle AEC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE+\angle DCE=180^{\circ}$，
$\because \angle BAC=\angle DAE=40^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=140^{\circ}$，
③当点$D$在线段$BC$反向延长线上时，如图$3$，
如图$3$，同理可证明：$\triangle ABD$≌$\triangle ACE\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ABD=\angle ACE$，
$\because \angle ACE=\angle ACD+\angle DCE$，$\angle ABD=\angle ACD+\angle BAC$，
$\therefore \angle ACD+\angle DCE=\angle ACD+\angle BAC$，
$\therefore \angle BAC=\angle DCE=40^{\circ}$，
综上，$\angle DCE=40^{\circ}$或$140^{\circ}$.
故答案为：$40$或$140$.

$\left(1\right)\because \angle DAE=\angle BAC$，
$\therefore \angle DAE+\angle CAD=\angle BAC+\angle CAD$，
$\therefore \angle BAD=\angle CAE$，
在$\triangle BAD$和$\triangle CAE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BAD$≌$\triangle CAE\left(SAS\right)$，
$\therefore BD=CE=2$.
故答案为：$2$；
$(2)$①当点$D$在线段$BC$的延长线上移动时，
由（1）知$\triangle BAD$≌$\triangle CAE$，
$\therefore \angle B=\angle ACE$，
$\because \angle ACD=\angle B+\angle BAC=\angle ACE+\angle DCE$，
$\therefore \angle BAC=\angle DCE$，
$\because \angle BAC=40^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=40^{\circ}$；
②当$D$在线段$BC$上时，如图$2$，
同理可证明：$\triangle ABD$≌$\triangle ACE\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ADB=\angle AEC$，$\angle ABC=\angle ACE$，
$\because \angle ADC+\angle ADB=180^{\circ}$，
$\therefore \angle ADC+\angle AEC=180^{\circ}$，
$\therefore \angle DAE+\angle DCE=180^{\circ}$，
$\because \angle BAC=\angle DAE=40^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE=140^{\circ}$，
③当点$D$在线段$BC$反向延长线上时，如图$3$，
如图$3$，同理可证明：$\triangle ABD$≌$\triangle ACE\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle ABD=\angle ACE$，
$\because \angle ACE=\angle ACD+\angle DCE$，$\angle ABD=\angle ACD+\angle BAC$，
$\therefore \angle ACD+\angle DCE=\angle ACD+\angle BAC$，
$\therefore \angle BAC=\angle DCE=40^{\circ}$，
综上，$\angle DCE=40^{\circ}$或$140^{\circ}$.
故答案为：$40$或$140$.