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八年级数学填空题一般
题目
如图,已知△ABC\triangle ABC三个内角的平分线交于点OO,点DD在CACA的延长线上,且DC=BCDC=BC,AD=AOAD=AO,若∠BAC=100∘\angle BAC=100^{\circ},则∠BCA\angle BCA的度数为______.
知识点：全等三角形的判定、等腰三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

∵AO\because AO、BOBO、COCO是△ABC\triangle ABC三个内角的平分线，
∴∠BAO=∠CAO\therefore \angle BAO=\angle CAO，∠ABO=∠CBO\angle ABO=\angle CBO，∠BCO=∠DCO\angle BCO=\angle DCO，
在△BCO\triangle BCO和△DCO\triangle DCO中，
{OC=OC∠BCO=∠DCOBC=DC\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠BCO=∠DCO}\\{BC=DC}\end{array}\right.，
∴△BCO\therefore \triangle BCO≌△DCO(SAS)\triangle DCO\left(SAS\right)，
∴∠CBO=∠D\therefore \angle CBO=\angle D，
又∵∠BAC=100∘\because \angle BAC=100^{\circ}，
∴∠CAO=12∠BAC=12×100°=50°\therefore \angle CAO=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×100°=5{0}°，
又∵AD=AO\because AD=AO，
∴∠D=∠AOD\therefore \angle D=\angle AOD，
又∵∠CAO=∠D+∠AOD\because \angle CAO=\angle D+\angle AOD，
∴∠D=12∠CAO=12×50°=25∘\therefore \angle D=\frac{1}{2}∠CAO=\frac{1}{2}×5{0}°=25^{\circ}，
∴∠CBO=25∘\therefore \angle CBO=25^{\circ}，
∴∠CBA=50∘\therefore \angle CBA=50^{\circ}，
又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA=180∘\because \angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^{\circ}，
∴∠BCA=180∘−100∘−50∘=30∘\therefore \angle BCA=180^{\circ}-100^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}，
故答案为30∘30^{\circ}.

解析

∵AO\because AO、BOBO、COCO是△ABC\triangle ABC三个内角的平分线，
∴∠BAO=∠CAO\therefore \angle BAO=\angle CAO，∠ABO=∠CBO\angle ABO=\angle CBO，∠BCO=∠DCO\angle BCO=\angle DCO，
在△BCO\triangle BCO和△DCO\triangle DCO中，
{OC=OC∠BCO=∠DCOBC=DC\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠BCO=∠DCO}\\{BC=DC}\end{array}\right.，
∴△BCO\therefore \triangle BCO≌△DCO(SAS)\triangle DCO\left(SAS\right)，
∴∠CBO=∠D\therefore \angle CBO=\angle D，
又∵∠BAC=100∘\because \angle BAC=100^{\circ}，
∴∠CAO=12∠BAC=12×100°=50°\therefore \angle CAO=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×100°=5{0}°，
又∵AD=AO\because AD=AO，
∴∠D=∠AOD\therefore \angle D=\angle AOD，
又∵∠CAO=∠D+∠AOD\because \angle CAO=\angle D+\angle AOD，
∴∠D=12∠CAO=12×50°=25∘\therefore \angle D=\frac{1}{2}∠CAO=\frac{1}{2}×5{0}°=25^{\circ}，
∴∠CBO=25∘\therefore \angle CBO=25^{\circ}，
∴∠CBA=50∘\therefore \angle CBA=50^{\circ}，
又∵∠BAC+∠ABC+∠BCA=180∘\because \angle BAC+\angle ABC+\angle BCA=180^{\circ}，
∴∠BCA=180∘−100∘−50∘=30∘\therefore \angle BCA=180^{\circ}-100^{\circ}-50^{\circ}=30^{\circ}，
故答案为30∘30^{\circ}.

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