$(1)$证明：设$BD=2x$，$AD=3x$，$CD=4x$，
则$AB=5x$，
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=5x$，
$\therefore AB=AC$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形；
$(2)$$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 5x\times 4x=40cm^{2}$，而$x \gt 0$，
$\therefore x=2cm$，
则$BD=4cm$，$AD=6cm$，$CD=8cm$，$AC=10cm$.
①当$MN$∥$BC$时，$AM=AN$，
即$10-t=t$，
$\therefore t=5$；
当$DN$∥$BC$时，$AD=AN$，
得：$t=6$；
$\therefore$若$\triangle DMN$的边与$BC$平行时，$t$值为$5$或$6$.
②$\because$点$E$是边$AC$的中点，$CD\bot AB$，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC=5$，
当点$M$在$BD$上，即$0\leqslant t \lt 4$时，$\triangle MDE$为钝角三角形，但$DM\neq DE$；
当$t=4$时，点$M$运动到点$D$，不构成三角形
当点$M$在$DA$上，即$4 \lt t\leqslant 10$时，$\triangle MDE$为等腰三角形，有$3$种可能.
如果$DE=DM$，则$t-4=5$，
$\therefore t=9$；
如果$ED=EM$，则点$M$运动到点$A$，
$\therefore t=10$；
如果$MD=ME=t-4$，
过点$E$作$EF\bot AB$于$F$，如图$3$所示：
$\because ED=EA$，
$\therefore DF=AF=\frac{1}{2}AD=3$，
在$Rt\triangle AEF$中，$EF=4$；
$\because BM=t$，$BF=7$，
$\therefore FM=t-7$
则在$Rt\triangle EFM$中，$\left(t-4\right)^{2}-\left(t-7\right)^{2}=4^{2}$，
$\therefore t=\frac{49}{6}$.
综上所述，符合要求的$t$值为$9$或$10$或$\frac{49}{6}$.

$(1)$证明：设$BD=2x$，$AD=3x$，$CD=4x$，
则$AB=5x$，
在$Rt\triangle ACD$中，$AC=\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}=5x$，
$\therefore AB=AC$，
$\therefore \triangle ABC$是等腰三角形；
$(2)$$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 5x\times 4x=40cm^{2}$，而$x \gt 0$，
$\therefore x=2cm$，
则$BD=4cm$，$AD=6cm$，$CD=8cm$，$AC=10cm$.
①当$MN$∥$BC$时，$AM=AN$，
即$10-t=t$，
$\therefore t=5$；
当$DN$∥$BC$时，$AD=AN$，
得：$t=6$；
$\therefore$若$\triangle DMN$的边与$BC$平行时，$t$值为$5$或$6$.
②$\because$点$E$是边$AC$的中点，$CD\bot AB$，
$\therefore DE=\frac{1}{2}AC=5$，
当点$M$在$BD$上，即$0\leqslant t \lt 4$时，$\triangle MDE$为钝角三角形，但$DM\neq DE$；
当$t=4$时，点$M$运动到点$D$，不构成三角形
当点$M$在$DA$上，即$4 \lt t\leqslant 10$时，$\triangle MDE$为等腰三角形，有$3$种可能.
如果$DE=DM$，则$t-4=5$，
$\therefore t=9$；
如果$ED=EM$，则点$M$运动到点$A$，
$\therefore t=10$；
如果$MD=ME=t-4$，
过点$E$作$EF\bot AB$于$F$，如图$3$所示：
$\because ED=EA$，
$\therefore DF=AF=\frac{1}{2}AD=3$，
在$Rt\triangle AEF$中，$EF=4$；
$\because BM=t$，$BF=7$，
$\therefore FM=t-7$
则在$Rt\triangle EFM$中，$\left(t-4\right)^{2}-\left(t-7\right)^{2}=4^{2}$，
$\therefore t=\frac{49}{6}$.
综上所述，符合要求的$t$值为$9$或$10$或$\frac{49}{6}$.