当$\triangle ABC$为锐角三角形时，
如图$1$，设$AB$的垂直平分线交线段$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore \angle A=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=65^{\circ}$；
当$\triangle ABC$为钝角三角形时，
如图$2$，设$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$，交$AC$于点$D$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore \angle DAB=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle C$，
$\because \angle B+\angle C=\angle DAB$，
$\therefore \angle B=25^{\circ}$；
综上可知$\angle B$的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$，
故答案为：$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.

当$\triangle ABC$为锐角三角形时，
如图$1$，设$AB$的垂直平分线交线段$AC$于点$D$，交$AB$于点$E$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore \angle A=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle ACB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle A)=65^{\circ}$；
当$\triangle ABC$为钝角三角形时，
如图$2$，设$AB$的垂直平分线交$AB$于点$E$，交$AC$于点$D$，

$\because \angle ADE=40^{\circ}$，$DE\bot AB$，
$\therefore \angle DAB=50^{\circ}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore \angle B=\angle C$，
$\because \angle B+\angle C=\angle DAB$，
$\therefore \angle B=25^{\circ}$；
综上可知$\angle B$的度数为$65^{\circ}$或$25^{\circ}$，
故答案为：$65^{\circ}$或$25^{\circ}$.