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九年级数学解答题一般
题目
如图,正方形纸片ABCDABCD.现对纸片做如下操作:第一步,对折纸片,使边ADAD与BCBC重合,得到折痕EFEF；第二步,将△BCF\triangle BCF折叠,得到折痕BFBF；第三步,将△ABP\triangle ABP折叠,使顶点AA落在折痕BFBF上点QQ处.

(1)(1)求证:点PP恰为线段ADAD的黄金分割点；
(2)(2)现有矩形纸片ABCDABCD,其中AB<BCAB \lt BC,如图所示.请你借助这张纸片,设法折出一个30∘30^{\circ}的角.要求写出折纸的步骤（可仿照上面的表述),并在图中画出各步骤的折痕位置,注明30∘30^{\circ}角的位置,不需要证明.
知识点：黄金分割章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

(1)(1)证明：如图，连接PFPF，

设正方形ABCDABCD的边长为11，则DF=12DF=\frac{1}{2}.
在Rt△BCFRt\triangle BCF中，BF=BC2+CF2=52BF=\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}，
则QF=BF−BQ=52−1QF=BF-BQ=\frac{\sqrt{5}}{2}-1.
设AP=PQ=xAP=PQ=x，则PD=1−xPD=1-x，
在Rt△QPFRt\triangle QPF和Rt△DGFRt\triangle DGF中，
有FQ2+PQ2=DF2+DP2FQ^{2}+PQ^{2}=DF^{2}+DP^{2}，即(52−1)2+x2=(12)2+(1−x)2{(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)}^{2}+{x}^{2}={(\frac{1}{2})}^{2}+{(1-x)}^{2}，
解得x=√5−12x=\frac{√5-1}{2}，
即点PP是ADAD的黄金分割点(AG>GD)\left(AG \gt GD\right)；
(2)(2)方法如图所示：
第一步：对折矩形纸片ABCDABCD，使ADAD与BCBC重合，得到折痕EFEF，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点AA落在EFEF上，落点为点NN，并使折痕经过点BB，得到折痕BMBM，同时，得到线段BNBN.则∠ABM=∠MBN=∠NBC=30∘\angle ABM=\angle MBN=\angle NBC=30^{\circ}.

解析

(1)(1)证明：如图，连接PFPF，

设正方形ABCDABCD的边长为11，则DF=12DF=\frac{1}{2}.
在Rt△BCFRt\triangle BCF中，BF=BC2+CF2=52BF=\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}，
则QF=BF−BQ=52−1QF=BF-BQ=\frac{\sqrt{5}}{2}-1.
设AP=PQ=xAP=PQ=x，则PD=1−xPD=1-x，
在Rt△QPFRt\triangle QPF和Rt△DGFRt\triangle DGF中，
有FQ2+PQ2=DF2+DP2FQ^{2}+PQ^{2}=DF^{2}+DP^{2}，即(52−1)2+x2=(12)2+(1−x)2{(\frac{\sqrt{5}}{2}-1)}^{2}+{x}^{2}={(\frac{1}{2})}^{2}+{(1-x)}^{2}，
解得x=√5−12x=\frac{√5-1}{2}，
即点PP是ADAD的黄金分割点(AG>GD)\left(AG \gt GD\right)；
(2)(2)方法如图所示：
第一步：对折矩形纸片ABCDABCD，使ADAD与BCBC重合，得到折痕EFEF，把纸片展平；
第二步：再一次折叠纸片，使点AA落在EFEF上，落点为点NN，并使折痕经过点BB，得到折痕BMBM，同时，得到线段BNBN.则∠ABM=∠MBN=∠NBC=30∘\angle ABM=\angle MBN=\angle NBC=30^{\circ}.

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