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九年级数学解答题一般
题目
课本再现
一般地,点CC把线段ABAB分成两条线段ACAC和BC(BC(如图1)1).如果ACAB=BCAC\frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC},那么称线段ABAB被点CC黄金分割,CC叫做线段ABAB的黄金分割点,ACAC与ABAB的比叫做黄金比.知识应用
(1)(1)如图11,若AB=2AB=2,CC是线段ABAB的黄金分割点(AC>BC)\left(AC \gt BC\right),求线段ACAC的长.
(2)(2)如图22,在△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,∠A=36∘\angle A=36^{\circ},CDCD是∠ACB\angle ACB的平分线,求证:DD是ABAB的黄金分割点.
知识点：黄金分割章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

(1)(1)设AC=xAC=x，则BC=2−xBC=2-x.
∵C\because C是线段ABAB的黄金分割点(AC>BC)\left(AC \gt BC\right).
∴ACAB=BCAC\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}，
即x2=2−xx\frac{x}{2}=\frac{2-x}{x}，
解得x1=5−1{x}_{1}=\sqrt{5}-1，x2=−5−1({x}_{2}=-\sqrt{5}-1(不合题意，舍去)。
即AC=5−1AC=\sqrt{5}-1；
(2)(2)证明：∵AB=AC\because AB=AC，∠A=36∘\angle A=36^{\circ}，∠B=∠ACB=72∘\angle B=\angle ACB=72^{\circ}.
∵CD\because CD平分∠ACB\angle ACB，
∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=36°=∠A\therefore ∠BCD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB=36°=∠A，∠B=∠CDB=72∘\angle B=\angle CDB=72^{\circ}，
∴△CBD\therefore \triangle CBD∽△ABC\triangle ABC，AD=CD=BCAD=CD=BC，
∴BCAB=BDBC\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}，
即ADAB=BDAD\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}，
∴D\therefore D是ABAB的黄金分割点.

解析

(1)(1)设AC=xAC=x，则BC=2−xBC=2-x.
∵C\because C是线段ABAB的黄金分割点(AC>BC)\left(AC \gt BC\right).
∴ACAB=BCAC\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{BC}{AC}，
即x2=2−xx\frac{x}{2}=\frac{2-x}{x}，
解得x1=5−1{x}_{1}=\sqrt{5}-1，x2=−5−1({x}_{2}=-\sqrt{5}-1(不合题意，舍去)。
即AC=5−1AC=\sqrt{5}-1；
(2)(2)证明：∵AB=AC\because AB=AC，∠A=36∘\angle A=36^{\circ}，∠B=∠ACB=72∘\angle B=\angle ACB=72^{\circ}.
∵CD\because CD平分∠ACB\angle ACB，
∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=36°=∠A\therefore ∠BCD=∠ACD=\frac{1}{2}∠ACB=36°=∠A，∠B=∠CDB=72∘\angle B=\angle CDB=72^{\circ}，
∴△CBD\therefore \triangle CBD∽△ABC\triangle ABC，AD=CD=BCAD=CD=BC，
∴BCAB=BDBC\therefore \frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}，
即ADAB=BDAD\frac{AD}{AB}=\frac{BD}{AD}，
∴D\therefore D是ABAB的黄金分割点.

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