$\because ED$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore A$与$B$关于$ED$对称，
连接$AF$，交$ED$于点$P$，
$\because AP=PB$，
$\therefore \triangle PBF$周长$=PB+PF+FB=AP+PF+FB\geqslant AF+FB$，
当$A$、$P$、$F$三点共线时，$\triangle PBF$周长最小，
$\because F$为$BC$边的中点，$AB=AC$，
$\therefore AF\bot BC$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times AF=10$，
$\because BC=4$，
$\therefore AF=5$，
$\therefore \triangle PBF$周长$=AF+FB=5+2=7$，
$\therefore \triangle PBF$周长的最小值为$7$，
故答案为$7$.

由垂直平分线的性质可得$A$与$B$关于$ED$对称，连接$AF$，交$ED$于点$P$，则当$A$、$P$、$F$三点共线时，$\triangle PBF$周长最小为$AF+FB$的长.

【点评】

本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键.

$\because ED$是线段$AB$的垂直平分线，
$\therefore A$与$B$关于$ED$对称，
连接$AF$，交$ED$于点$P$，
$\because AP=PB$，
$\therefore \triangle PBF$周长$=PB+PF+FB=AP+PF+FB\geqslant AF+FB$，
当$A$、$P$、$F$三点共线时，$\triangle PBF$周长最小，
$\because F$为$BC$边的中点，$AB=AC$，
$\therefore AF\bot BC$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times BC\times AF=10$，
$\because BC=4$，
$\therefore AF=5$，
$\therefore \triangle PBF$周长$=AF+FB=5+2=7$，
$\therefore \triangle PBF$周长的最小值为$7$，
故答案为$7$.

由垂直平分线的性质可得$A$与$B$关于$ED$对称，连接$AF$，交$ED$于点$P$，则当$A$、$P$、$F$三点共线时，$\triangle PBF$周长最小为$AF+FB$的长.

【点评】

本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键.