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九年级数学填空题一般
题目
已知点PP是线段ABAB上的一点,且AP2=AB⋅PBAP^{2}=AB\cdot PB,如果AB=10AB=10,那么APAP的长是______.
知识点：黄金分割章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

设APAP的距离为xx，则PB=10−xPB=10-x，
根据题意列方式：
AP2=AB⋅PBAP^{2}=AB\cdot PB，
x2=10(10−x)x^{2}=10\left(10-x\right)，
整理得：
x2+10x−100=0x^{2}+10x-100=0，
a=1a=1，b=10b=10，c=−100c=-100，
根据求根公式x=−b±b2−4ac2a=−10±102−4×(−100)2=−10±1052=−5±55x=\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-10±\sqrt{1{0}^{2}-4×(-100)}}{2}=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2}=-5±5\sqrt{5}，
解出x1=−5+55{x}_{1}=-5+5\sqrt{5}，x2=−5−55({x}_{2}=-5-5\sqrt{5}(舍去)。
故答案为：−5+55-5+5\sqrt{5}.

解析

设APAP的距离为xx，则PB=10−xPB=10-x，
根据题意列方式：
AP2=AB⋅PBAP^{2}=AB\cdot PB，
x2=10(10−x)x^{2}=10\left(10-x\right)，
整理得：
x2+10x−100=0x^{2}+10x-100=0，
a=1a=1，b=10b=10，c=−100c=-100，
根据求根公式x=−b±b2−4ac2a=−10±102−4×(−100)2=−10±1052=−5±55x=\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-10±\sqrt{1{0}^{2}-4×(-100)}}{2}=\frac{-10±10\sqrt{5}}{2}=-5±5\sqrt{5}，
解出x1=−5+55{x}_{1}=-5+5\sqrt{5}，x2=−5−55({x}_{2}=-5-5\sqrt{5}(舍去)。
故答案为：−5+55-5+5\sqrt{5}.

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