D

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$\angle A=20^{\circ}$，则$\angle ABC=70^{\circ}$，
$(1)$取一个$\triangle EFD$和$\triangle ABC$全等，其中$EF=AC$，$FD=BC$，$AB=ED$，$\angle C=\angle F=90^{\circ}$，
此时有两种拼图方法：
①将$EF$与$AC$拼接在一起，如图$1$所示：

$\because AB=ED$，$\angle C=\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore$点$B$，$C\left(F\right)$，$D$在一条直线上，
$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形，且$\angle B=\angle D=70^{\circ}$，$\angle BAD=40^{\circ}$；
②将$DF$于$BC$拼接在一起，如图$2$所示：

$\because AB=BD$，$\angle C=\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore$点$A$，$C\left(F\right)$，$D$在一条直线上，
$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形；
$(2)$取一个$\triangle EFD$，使$AC=EF$，$\angle F=90^{\circ}$，$\angle D=55^{\circ}$，$\angle FED=35^{\circ}$，
将$EF$于$AC$拼接在一起，如图$3$所示：

$\because \angle C=\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore$点$B$，$C\left(F\right)$，$D$在一条直线上，
此时$\angle BAD=\angle BAC+\angle FED=20^{\circ}+35^{\circ}=55^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle D=55^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形；
$(3)$取一个$\triangle EFD$，使$EF=BC$，$\angle F=90^{\circ}$，$\angle D=80^{\circ}$，$\angle FED=10^{\circ}$，
将$EF$与$BC$拼接在一起，如图$4$所示：

$\because \angle C=\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore$点$A$，$C\left(F\right)$，$D$在一条直线上，
此时$\angle ABD=\angle ABC+\angle FED=70^{\circ}+10^{\circ}=80^{\circ}$，
$\therefore \angle ABD=\angle D$，
$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形；
$(4)$取一个$\triangle EFD$，使$EF=AC$，$\angle F=90^{\circ}$，$\angle D=40^{\circ}$，$\angle FED=50^{\circ}$，
将$EF$与$AC$拼接在一起，如图$5$所示：

$\because \angle C=\angle F=90^{\circ}$，
$\therefore$点$B$，$C\left(F\right)$，$D$在一条直线上，
此时$\angle BAD=\angle BAC+\angle FED=20^{\circ}+50^{\circ}=70^{\circ}$，
$\therefore \angle BAD=\angle ABC$，
$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形；
$(5)$取一个$\triangle EFD$，使$EF=AB$，$\angle EFD=110^{\circ}$，$\angle D=45^{\circ}$，$\angle FED=25^{\circ}$，
将$EF$与$AB$拼接在一起，如图$6$所示：

$\because \angle EFD=110^{\circ}$，$\angle ABC=70^{\circ}$，
$\therefore \angle EFD+\angle ABC=180^{\circ}$，
$\therefore$点$C$，$B\left(F\right)$，$D$在一条直线上，
此时$\angle CAD=\angle BAC+\angle FED=20^{\circ}+25^{\circ}=45^{\circ}$，
$\therefore \angle CAD=\angle D$，
$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形；
$(6)$取一个$\triangle EFD$，是$EF=BC$，$\angle D=20^{\circ}$，$\angle FED=110^{\circ}$，$\angle EFD=50^{\circ}$，
将将$EF$与$AB$拼接在一起，如图$7$所示：

$\because \angle FED=110^{\circ}$，$\angle ABC=70^{\circ}$，
$\therefore \angle FED+\angle ABC=180^{\circ}$，
$\therefore$点$A$，$B\left(E\right)$，$D$在一条直线上，
此时$\angle D=\angle A=20^{\circ}$，
$\therefore \triangle ABD$为等腰三角形；
综上所述：拼成的等腰三角形有$7$种.
故选：$D$.