D

假设$AD=DE$成立，则$\angle DAH=\angle DEH$，
$\because AD$平分$\angle BAC,DE$∥$BC$，
$\therefore \angle DAH=\angle DAC$，$\angle DEH=\angle B$，
$\therefore \angle DAH=\angle DAC=\angle B$，
$\because \angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle CAB+\angle B=\angle DAH+\angle DAC=\angle B=3\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore \angle B=30^{\circ}$，与已知条件不符，
$\therefore AD=DE$不成立
故$A$不符合题意；
假设$AC=EC$成立，
$\because AH\bot AB$于点$H$，
$\therefore AH=EH$，
$\therefore CH$垂直平分$AE$，
$\therefore AD=DE$，
$\therefore \angle B=30^{\circ}$，与已知条件不符，
$\therefore AC=EC$不成立，
故$B$不符合题意；
假设$AD=CD$成立，则$\angle DAH=\angle DAC=\angle DCA$，
$\because \angle AHC=\angle BHC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle HAC+\angle DCA=\angle DAH+\angle DAC+\angle DCA=3\angle DCA=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DCA=30^{\circ}$，
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle BCH=\angle CDA=30^{\circ}$，与已知条件不符，
$\therefore AD=CD$不成立，
故$C$不符合题意；
延长$ED$交$AC$于点$F$，则$\angle AFE=\angle ACB=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DFC=\angle DHE=90^{\circ}$，
$\because AD$平分$\angle BAC$，$DF\bot AC$，$DH\bot AB$，
$\therefore DF=DH$，
在$\triangle CDF$和$\triangle EDH$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFC=∠DHE}\\{DF=DH}\\{∠CDF=∠EDH}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CDF$≌$\triangle EDH\left(ASA\right)$，
$\therefore CD=DE$，
故$D$符合题意，
故选：$D$.