C

分两种情况：
①当底边$bc$为$2cm$时，如图所示：
$\because$等腰三角形的周长为$10cm$，
$\therefore AB=AC=4cm$，
$\because AD$是高，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC=1cm$，$\angle ADB=90^{\circ}$，
$\therefore AD=\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{15}(cm)$；
②当腰长$AB=AC=2cm$时，底边$BC=6cm$，
$\because 2+2 \lt 6$，
$\therefore$不能构成三角形；
综上所述：该等腰三角形底边上的高为$\sqrt{15}$；
故选：$C$.