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九年级数学填空题一般
题目
新定义:如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数）,那么称这个等腰三角形为"精准三角形".如图,△ABC\triangle ABC是"精准三角形",AB=AC=2AB=AC=2,CD⊥ABCD\bot AB,垂足为点DD,那么BDBD的长度为______.
知识点：角平分线的性质、等腰梯形的性质、黄金分割、相似三角形的判定与性质章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

作△ABC\triangle ABC的中线CMCM，
∵△ABC\because \triangle ABC是“精准三角形”，
∴CMAB=5−12\therefore \frac{CM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
∵AB=2\because AB=2，
∴CM=5−1\therefore CM=\sqrt{5}-1，
∵M\because M是ABAB中点，
∴AM=MB=12AB=1\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=1，
令DM=xDM=x，则AD=x+1AD=x+1，
∵CD2=CM2−MD2=AC2−AD2\because CD^{2}=CM^{2}-MD^{2}=AC^{2}-AD^{2}，
∴(5−1)2−x2=22−(x+1)2\therefore {(\sqrt{5}-1)}^{2}-x^{2}=2^{2}-\left(x+1\right)^{2}，
∴x=25−32\therefore x=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}，
∴DM=25−32\therefore DM=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}，
∴BD=MB−DM=5−252\therefore BD=MB-DM=\frac{5-2\sqrt{5}}{2}.
故答案为：5−252\frac{5-2\sqrt{5}}{2}.

解析

作△ABC\triangle ABC的中线CMCM，
∵△ABC\because \triangle ABC是“精准三角形”，
∴CMAB=5−12\therefore \frac{CM}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}，
∵AB=2\because AB=2，
∴CM=5−1\therefore CM=\sqrt{5}-1，
∵M\because M是ABAB中点，
∴AM=MB=12AB=1\therefore AM=MB=\frac{1}{2}AB=1，
令DM=xDM=x，则AD=x+1AD=x+1，
∵CD2=CM2−MD2=AC2−AD2\because CD^{2}=CM^{2}-MD^{2}=AC^{2}-AD^{2}，
∴(5−1)2−x2=22−(x+1)2\therefore {(\sqrt{5}-1)}^{2}-x^{2}=2^{2}-\left(x+1\right)^{2}，
∴x=25−32\therefore x=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}，
∴DM=25−32\therefore DM=\frac{2\sqrt{5}-3}{2}，
∴BD=MB−DM=5−252\therefore BD=MB-DM=\frac{5-2\sqrt{5}}{2}.
故答案为：5−252\frac{5-2\sqrt{5}}{2}.

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