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九年级数学填空题一般
题目
在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法.如图所示,以线段ABAB为边作正方形ABCDABCD,取ADAD的中点EE,连接BEBE,延长DADA至FF,使得EF=BEEF=BE,以AFAF为边作正方形AFGHAFGH,则点HH即是线段ABAB的黄金分割点.若AD=20AD=20,记正方形AFGHAFGH的面积为S1S_{1},矩形BCIHBCIH的面积为S2S_{2},则S1S_{1}与S2S_{2}的和为______.
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知识点：黄金分割章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

∵\because四边形ABCDABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=20\therefore AD=AB=BC=20，
∵\because点HH是线段ABAB的黄金分割点，
∴AH=5−12AB=5−12×20=105−10\therefore AH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times 20=10\sqrt{5}-10，
∴BH=AB−AH=20−(105−10)=30−105\therefore BH=AB-AH=20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}，
∴S1+S2=AH2+BH⋅BC\therefore S_{1}+S_{2}=AH^{2}+BH\cdot BC
=(105−10)2+(30−105)×20=(10\sqrt{5}-10)^{2}+(30-10\sqrt{5})\times 20
=500−2005+100+600−2005=500-200\sqrt{5}+100+600-200\sqrt{5}
=1200−4005=1200-400\sqrt{5}，
故答案为：1200−40051200-400\sqrt{5}.

解析

∵\because四边形ABCDABCD是正方形，
∴AD=AB=BC=20\therefore AD=AB=BC=20，
∵\because点HH是线段ABAB的黄金分割点，
∴AH=5−12AB=5−12×20=105−10\therefore AH=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\times 20=10\sqrt{5}-10，
∴BH=AB−AH=20−(105−10)=30−105\therefore BH=AB-AH=20-(10\sqrt{5}-10)=30-10\sqrt{5}，
∴S1+S2=AH2+BH⋅BC\therefore S_{1}+S_{2}=AH^{2}+BH\cdot BC
=(105−10)2+(30−105)×20=(10\sqrt{5}-10)^{2}+(30-10\sqrt{5})\times 20
=500−2005+100+600−2005=500-200\sqrt{5}+100+600-200\sqrt{5}
=1200−4005=1200-400\sqrt{5}，
故答案为：1200−40051200-400\sqrt{5}.

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