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八年级数学解答题一般
题目
如图,△ABC\triangle ABC的两条高ADAD,CECE交于点FF,AF=BCAF=BC.
(1)(1)求证:△AEF\triangle AEF≌△CEB\triangle CEB；
(2)(2)若BE=4BE=4,CF=5CF=5,求AEAE的长度.
知识点：全等三角形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等边三角形的判定方法章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵△ABC\because \triangle ABC的两条高ADAD，CECE交于点FF，
∴∠BEC=∠AEF=90∘\therefore \angle BEC=\angle AEF=90^{\circ}，
∴∠BCE+∠B=∠DAB+∠B=90∘\therefore \angle BCE+\angle B=\angle DAB+\angle B=90^{\circ}，
∴∠BCE=∠DAB\therefore \angle BCE=\angle DAB，
在△AEF\triangle AEF和△BCE\triangle BCE中，
{∠DAB=∠BCE∠AEF=∠BECAF=BC\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠BCE}\\{∠AEF=∠BEC}\\{AF=BC}\end{array}\right.，
∴△AEF\therefore \triangle AEF≌△CEB(AAS)\triangle CEB\left(AAS\right)；
(2)(2)∵△AEF\because \triangle AEF≌△CEB\triangle CEB，
∴EF=BE=4\therefore EF=BE=4，AE=CEAE=CE，
∴AE=CE=CF+EF=5+4=9\therefore AE=CE=CF+EF=5+4=9.

解析

(1)(1)证明：∵△ABC\because \triangle ABC的两条高ADAD，CECE交于点FF，
∴∠BEC=∠AEF=90∘\therefore \angle BEC=\angle AEF=90^{\circ}，
∴∠BCE+∠B=∠DAB+∠B=90∘\therefore \angle BCE+\angle B=\angle DAB+\angle B=90^{\circ}，
∴∠BCE=∠DAB\therefore \angle BCE=\angle DAB，
在△AEF\triangle AEF和△BCE\triangle BCE中，
{∠DAB=∠BCE∠AEF=∠BECAF=BC\left\{\begin{array}{l}{∠DAB=∠BCE}\\{∠AEF=∠BEC}\\{AF=BC}\end{array}\right.，
∴△AEF\therefore \triangle AEF≌△CEB(AAS)\triangle CEB\left(AAS\right)；
(2)(2)∵△AEF\because \triangle AEF≌△CEB\triangle CEB，
∴EF=BE=4\therefore EF=BE=4，AE=CEAE=CE，
∴AE=CE=CF+EF=5+4=9\therefore AE=CE=CF+EF=5+4=9.

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