B

$\because \angle AOB=\angle COD=30^{\circ}$，
$\therefore \angle AOC=\angle BOD$，
$\because OA=OB$，$OC=OD$，
$\therefore \triangle AOC$≌$\triangle BOD\left(SAS\right)$，
$\therefore AC=BD$，所以①正确；
$\therefore \angle OAC=\angle OBD$，
而$\angle AFM=\angle BFO$，
$\therefore \angle AMF=\angle BOF=30^{\circ}$，所以②正确；
$\because OC \lt OA$，
$\therefore \angle OCA \gt \angle OAC$，
$\because \angle OEM=\angle OCE+30^{\circ}$，$\angle OFM=\angle OBF+30^{\circ}=\angle OAM+30^{\circ}$，
$\therefore \angle OEM \gt \angle OFM$，
$\therefore \triangle OEM$与$\triangle OFM$不可能全等，所以③错误；
作$OH\bot AC$于$H$，$OG\bot BD$于$G$，如图，
$\because \triangle AOC$≌$\triangle BOD$，
$\therefore OH=OG$，
$\therefore MO$平分$\angle BMC$，所以④正确.
故选：$B$.