【综合与实践】
【认识研究对象】教材$121$页给出了如下定义:如图$1$,如果点$P$把线段$AB$分成两条线段$AP$和$PB\left(AP \gt PB\right)$,且$\frac{PB}{AP}=\frac{AP}{AB}$,则我们称点$P$为线段$AB$的黄金分割点.类似,我们可以定义:如果一个三角形中,其最长边的长度和最短边的长度的乘积等于第三边长度的平方,那么就称该三角形为"类黄金三角形".
如图$2$,已知$\triangle ABC$是"类黄金三角形",且$AC \lt AB \lt BC$.若$AC=3$,$BC=5$,求$AB$的长.
【探索研究方法】如图$3$,已知$\triangle ABC$是"类黄金三角形",且$AC \lt AB \lt BC$.
若$\angle BAC=90^{\circ}$,小滨同学过点$A$作$AD\bot BC$于点$D$,发现了两个结论:
①$AB^{2}=BD\times BC$；
②点$D$是边$BC$的黄金分割点；
请给出证明.
【尝试问题解决】小滨同学经历以上探索过程发现:类似问题,可以通过构造相似三角形等方法解决.于是开展新的探究,请解决以下问题:
如图$4$,已知$\triangle ABC$是"类黄金三角形",且$AC \lt AB \lt BC$.若$BC=2$,$\angle A=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$,求$AB$的长.