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八年级数学解答题一般
题目
[[问题情境]]某次数学课上,老师组织同学们利用直角三角形纸片来进行拼图探究活动.
[[试验探究]]
(1)1(1)1号小组将一张含30∘30^{\circ}角的直角三角形纸片和一张等腰直角三角形纸片按图①所示的方式摆放,则图中∠1=______.\angle 1= \_\_\_\_\_\_.
(2)2(2)2号小组将两张等腰直角三角形纸片ABCABC和DEFDEF按如图②所示的方式摆放,点AA与点DD重合,且点BB,CC,EE在同一条直线上,连接CFCF交DEDE于点GG,小组同学测量发现CF⊥BECF\bot BE,请尝试证明此结论.
[[拓展探究]]
(3)3(3)3号小组将两张等腰直角三角形纸片ABCABC和DEFDEF按如图③所示的方式摆放,点AA与点DD重合,连接CECE,BFBF交于点GG.求证:BF⊥CEBF\bot CE.
知识点：等腰三角形的性质、解直角三角形章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)如图①，

由题意，得：△ABC\triangle ABC是等腰直角三角形，△DEF\triangle DEF是含30∘30^{\circ}角的直角三角形，AB=ACAB=AC，AE⊥BCAE\bot BC，∠D=30∘\angle D=30^{\circ}，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠CAE=12∠BAC=45∘\therefore \angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC=45^{\circ}，
∵∠CAE=∠1+∠D\because \angle CAE=\angle 1+\angle D，
∴∠1=∠CAE−∠D=15∘\therefore \angle 1=\angle CAE-\angle D=15^{\circ}；
故答案为：15∘15^{\circ}；
(2)(2)证明：∵△ABC\because \triangle ABC是等腰直角三角形，△DEF\triangle DEF是含30∘30^{\circ}角的直角三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，AE=AFAE=AF，∠BAC=∠EAF=90∘\angle BAC=\angle EAF=90^{\circ}，
∴∠B=∠ACB=45∘\therefore \angle B=\angle ACB=45^{\circ}，∠BAE=∠CAF=90∘+∠CAE\angle BAE=\angle CAF=90^{\circ}+\angle CAE，
在△ACF\triangle ACF和△ABE\triangle ABE中，
{AC=AB∠CAF=∠BAEAF=AE\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAF=∠BAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.，
∴△ACF\therefore \triangle ACF≌△ABE(SAS)\triangle ABE\left(SAS\right)，
∴∠ACF=∠B=45∘\therefore \angle ACF=\angle B=45^{\circ}，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90∘\therefore \angle BCF=\angle ACB+\angle ACF=90^{\circ}，
∴CF⊥BE\therefore CF\bot BE；
(3)(3)证明：∵△ABC\because \triangle ABC是等腰直角三角形，△DEF\triangle DEF是含30∘30^{\circ}角的直角三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，AE=AFAE=AF，∠BAC=∠EAF=90∘\angle BAC=\angle EAF=90^{\circ}，
∴∠BAF=∠CAE=90∘+∠FAC\therefore \angle BAF=\angle CAE=90^{\circ}+\angle FAC，
在△ACE\triangle ACE和△ABF\triangle ABF中，
{AC=AB∠CAE=∠BAFAE=AF\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△ABF(SAS)\triangle ABF\left(SAS\right)，
∴∠ACE=∠ABF\therefore \angle ACE=\angle ABF，
设ACAC，BFBF交于点HH，如图③，

则：∠BHC=∠ABF+∠BAC=∠ACE+∠BGC\angle BHC=\angle ABF+\angle BAC=\angle ACE+\angle BGC，
∴∠BGC=∠BAC=90∘\therefore \angle BGC=\angle BAC=90^{\circ}，
∴BF⊥CE\therefore BF\bot CE.

解析

(1)(1)如图①，

由题意，得：△ABC\triangle ABC是等腰直角三角形，△DEF\triangle DEF是含30∘30^{\circ}角的直角三角形，AB=ACAB=AC，AE⊥BCAE\bot BC，∠D=30∘\angle D=30^{\circ}，∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠CAE=12∠BAC=45∘\therefore \angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC=45^{\circ}，
∵∠CAE=∠1+∠D\because \angle CAE=\angle 1+\angle D，
∴∠1=∠CAE−∠D=15∘\therefore \angle 1=\angle CAE-\angle D=15^{\circ}；
故答案为：15∘15^{\circ}；
(2)(2)证明：∵△ABC\because \triangle ABC是等腰直角三角形，△DEF\triangle DEF是含30∘30^{\circ}角的直角三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，AE=AFAE=AF，∠BAC=∠EAF=90∘\angle BAC=\angle EAF=90^{\circ}，
∴∠B=∠ACB=45∘\therefore \angle B=\angle ACB=45^{\circ}，∠BAE=∠CAF=90∘+∠CAE\angle BAE=\angle CAF=90^{\circ}+\angle CAE，
在△ACF\triangle ACF和△ABE\triangle ABE中，
{AC=AB∠CAF=∠BAEAF=AE\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAF=∠BAE}\\{AF=AE}\end{array}\right.，
∴△ACF\therefore \triangle ACF≌△ABE(SAS)\triangle ABE\left(SAS\right)，
∴∠ACF=∠B=45∘\therefore \angle ACF=\angle B=45^{\circ}，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90∘\therefore \angle BCF=\angle ACB+\angle ACF=90^{\circ}，
∴CF⊥BE\therefore CF\bot BE；
(3)(3)证明：∵△ABC\because \triangle ABC是等腰直角三角形，△DEF\triangle DEF是含30∘30^{\circ}角的直角三角形，
∴AB=AC\therefore AB=AC，AE=AFAE=AF，∠BAC=∠EAF=90∘\angle BAC=\angle EAF=90^{\circ}，
∴∠BAF=∠CAE=90∘+∠FAC\therefore \angle BAF=\angle CAE=90^{\circ}+\angle FAC，
在△ACE\triangle ACE和△ABF\triangle ABF中，
{AC=AB∠CAE=∠BAFAE=AF\left\{\begin{array}{l}{AC=AB}\\{∠CAE=∠BAF}\\{AE=AF}\end{array}\right.，
∴△ACE\therefore \triangle ACE≌△ABF(SAS)\triangle ABF\left(SAS\right)，
∴∠ACE=∠ABF\therefore \angle ACE=\angle ABF，
设ACAC，BFBF交于点HH，如图③，

则：∠BHC=∠ABF+∠BAC=∠ACE+∠BGC\angle BHC=\angle ABF+\angle BAC=\angle ACE+\angle BGC，
∴∠BGC=∠BAC=90∘\therefore \angle BGC=\angle BAC=90^{\circ}，
∴BF⊥CE\therefore BF\bot CE.

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