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九年级数学解答题一般
题目
如果一个矩形ABCD(AB<BC)ABCD\left(AB \lt BC\right)中,ABBC=5−12≈0.618\frac{AB}{BC}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}\approx 0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCDABCD内作正方形CDEFCDEF,得到一个小矩形ABFE(如图)ABFE(如图),请问矩形ABFEABFE是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.
知识点：正方形的性质、黄金分割章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

矩形ABFEABFE是黄金矩形.
∵AD=BC\because AD=BC，DE=ABDE=AB，
∴AEAB=AD−DEAB=BC−ABAB=BCAB−1=25−1−1=5+12−1=5+1−22=5−12\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AD-DE}{AB}=\frac{BC-AB}{AB}=\frac{BC}{AB}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}+1-2}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
∴\therefore矩形ABFEABFE是黄金矩形.

解析

矩形ABFEABFE是黄金矩形.
∵AD=BC\because AD=BC，DE=ABDE=AB，
∴AEAB=AD−DEAB=BC−ABAB=BCAB−1=25−1−1=5+12−1=5+1−22=5−12\therefore \frac{AE}{AB}=\frac{AD-DE}{AB}=\frac{BC-AB}{AB}=\frac{BC}{AB}-1=\frac{2}{\sqrt{5}-1}-1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1=\frac{\sqrt{5}+1-2}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
∴\therefore矩形ABFEABFE是黄金矩形.

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