A

$\because BE$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABE=\angle CBE$，
$\because BE\bot AC$，$CD\bot AB$，
$\therefore \angle BEA=\angle BEC=\angle ADC=\angle BDC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DBF+\angle DFB=90^{\circ}$，$\angle ACD+\angle EFC=90^{\circ}$，
$\because \angle BFD=\angle EFC$，
$\therefore \angle DBF=\angle ACD$，
$\because \angle BDC=90^{\circ}$，$\angle ABC=45^{\circ}$，
$\therefore \angle DCB=45^{\circ}=\angle ABC$，
在$\triangle BDF$和$\triangle CDA$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠ACD}\\{BD=CD}\\{∠BDF=∠ADC}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BDF$≌$\triangle CDA\left(ASA\right)$，
$\therefore BF=AC$，
在$\triangle BEA$和$\triangle BEC$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠CEB}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BEA$≌$\triangle BEC\left(ASA\right)$，
$\therefore AB=BC$，$AE=CE$，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AC$，
即$AE=\frac{1}{2}BF$，
故①正确，符合题意；
$\because \angle ABC=45^{\circ}$，$AB=BC$，
$\therefore ∠A=∠ACB=\frac{1}{2}(180°-∠ABC)=\frac{1}{2}(180°-45°)=67.5°$，
故②正确，符合题意；
$\because BD=CD$，$H$为$BC$的中点，
$\therefore \angle DHB=90^{\circ}$，
$\because \angle BEC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle DGF=\angle BGH=90^{\circ}-\angle CBE$，$\angle DFG=\angle EFC=90^{\circ}-\angle ACD$，
$\because \angle CBE=\angle ABE=\angle ACD$，
$\therefore \angle DGF=\angle DFG$，
$\therefore DG=DF$，
$\therefore \triangle DGF$是等腰三角形，
故③正确，符合题意；
$\because \triangle BEA$≌$\triangle BEC$，
$\therefore S_{\triangle BEA}=S_{\triangle BEC}$，
又$\because$点$G$在$\angle ABC$的平分线上，
$\therefore$点$G$到边$AB$、$BC$的距离相等，即$\triangle BGD$和$\triangle BHG$的高相等，
$\because Rt\triangle BDH$中，$BD \gt BH$，
$\therefore \triangle BGD$和$\triangle BHG$的面积不相等，
$\therefore S_{四边形ADGE}\neq S_{四边形GHCE}$，
故④错误，不符合题意；
即正确的是①②③，
故选：$A$.