$(1)$如图$1$,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B=\angle ADC=90^{\circ}$,点$E$、$F$分别在边$BC$、$CD$上,若$\angle EAB+\angle FAD=\angle EAF$则线段$BE$、$DF$、$EF$之间的数量关系是______.
$(2)$如图$2$,在四边形$ABCD$中,$AB=AD$,$\angle B+\angle D=180^{\circ}$,点$E$、$F$分别在边$BC$、$CD$上,若$EF=BE+FD$,探究$\angle EAB$、$\angle FAD$、$\angle EAF$的之间的数量关系,并说明理由.
$(3)$如图$3$,在$\triangle ABC$中,$AB=AC$,$\angle BAC=90^{\circ}$,$E$是线段$AB$上一点,$CE\bot CF$,且$CE=CF$,过点$F$作$FD\bot FC$交$CA$的延长线于$D$,过$E$作$EG\bot EC$交$BC$于$G$,连接$DG$.若$DF=7$,$EG=1$,求$DG$的长.