过点$D$作$DE\bot AB$，垂足为$E$，

由题意得：$DE=BC$，$CD=BE=10$米，

设$DE=BC=x$米，

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=45^{\circ}$，

$\therefore AB=BC\cdot \tan 45^{\circ}=x(米)$，

在$Rt\triangle ADE$中，$\angle ADE=38^{\circ}$，

$\therefore AE=DE\cdot \tan 38^{\circ}\approx 0.78x(米)$，

$\because AE+BE=AB$，

$\therefore 0.78x+10=x$，

解得：$x\approx 45.5$，

$\therefore AB\approx 45.5$米，

$\therefore$河南博物院主展馆的高度$AB$约为$45.5$米.

过点$D$作$DE\bot AB$，垂足为$E$，

由题意得：$DE=BC$，$CD=BE=10$米，

设$DE=BC=x$米，

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=45^{\circ}$，

$\therefore AB=BC\cdot \tan 45^{\circ}=x(米)$，

在$Rt\triangle ADE$中，$\angle ADE=38^{\circ}$，

$\therefore AE=DE\cdot \tan 38^{\circ}\approx 0.78x(米)$，

$\because AE+BE=AB$，

$\therefore 0.78x+10=x$，

解得：$x\approx 45.5$，

$\therefore AB\approx 45.5$米，

$\therefore$河南博物院主展馆的高度$AB$约为$45.5$米.