证明：$\left(1\right)\because$点$D$为$AB$的中点，$AE=AB=2BC$，
$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore AD=BC$，
$\because EA\bot AB$，$CB\bot AB$，
$\therefore \angle EAD=\angle ABC=90^{\circ}$，
在$\triangle EAD$和$\triangle ABC$中，
$\left\{\begin{array}{c}AE=AB\\∠EAD=∠ABC\\ AD=BC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AED$≌$\triangle ABC\left(SAS\right)$；
$(2)$连接$EC$，延长$BC$，作$EG\bot BC$交$BC$的延长线于点$G$，如图，

$\because AB=EG$，
$BC=AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}EA$，
$\therefore GC=BC$，
在$\triangle ABC$和$\triangle EGC$中，
$\left\{\begin{array}{c}EG=AB\\∠ABC=∠EGC\\ GC=BC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABC$≌$\triangle EGC\left(SAS\right)$，
$\therefore EC=AC$，
$\because AC=ED$，
$\therefore EC=ED$.

证明：$\left(1\right)\because$点$D$为$AB$的中点，$AE=AB=2BC$，
$\therefore AD=BD=\frac{1}{2}AB$，
$\therefore AD=BC$，
$\because EA\bot AB$，$CB\bot AB$，
$\therefore \angle EAD=\angle ABC=90^{\circ}$，
在$\triangle EAD$和$\triangle ABC$中，
$\left\{\begin{array}{c}AE=AB\\∠EAD=∠ABC\\ AD=BC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AED$≌$\triangle ABC\left(SAS\right)$；
$(2)$连接$EC$，延长$BC$，作$EG\bot BC$交$BC$的延长线于点$G$，如图，

$\because AB=EG$，
$BC=AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}EA$，
$\therefore GC=BC$，
在$\triangle ABC$和$\triangle EGC$中，
$\left\{\begin{array}{c}EG=AB\\∠ABC=∠EGC\\ GC=BC\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ABC$≌$\triangle EGC\left(SAS\right)$，
$\therefore EC=AC$，
$\because AC=ED$，
$\therefore EC=ED$.