在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore \angle BAD=\angle C=45^{\circ}$，$AD=BD$，$\angle ADC=90^{\circ}$，
$\because \angle ADC=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADF$，
在$\triangle BED$和$\triangle AFD$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠B=∠DAF\\ BD=AD\\∠BDE=∠ADF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BED$≌$\triangle AFD\left(ASA\right)$，
故①正确，该选项符合题意；
$\therefore BE=AF$，
$\therefore AC=AF+FC=BE+FC$，
故②正确，该选项符合题意；
$\because \triangle BED$≌$\triangle AFD$，
$\therefore DE=DF$，
$\therefore \triangle EDF$是等腰直角三角形，
$\therefore DE\bot AB$时，$S_{2}$最小为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}{S}_{1}$，
当点$E$与$A$或$B$重合时，$S_{2}$最大为$\frac{1}{2}{S}_{1}$，
$\therefore \frac{1}{4}{S}_{1}≤{S}_{2}≤\frac{1}{2}{S}_{1}$，故③正确，该选项符合题意；
$\because EF$是变化的，而$AD$为定值，故④错误，该选项不符合题意；
综上，①②③正确.
故答案为：①②③.

在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore \angle BAD=\angle C=45^{\circ}$，$AD=BD$，$\angle ADC=90^{\circ}$，
$\because \angle ADC=\angle BAC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle BDE=\angle ADF$，
在$\triangle BED$和$\triangle AFD$中，
$\left\{\begin{array}{c}∠B=∠DAF\\ BD=AD\\∠BDE=∠ADF\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle BED$≌$\triangle AFD\left(ASA\right)$，
故①正确，该选项符合题意；
$\therefore BE=AF$，
$\therefore AC=AF+FC=BE+FC$，
故②正确，该选项符合题意；
$\because \triangle BED$≌$\triangle AFD$，
$\therefore DE=DF$，
$\therefore \triangle EDF$是等腰直角三角形，
$\therefore DE\bot AB$时，$S_{2}$最小为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB×\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}{S}_{1}$，
当点$E$与$A$或$B$重合时，$S_{2}$最大为$\frac{1}{2}{S}_{1}$，
$\therefore \frac{1}{4}{S}_{1}≤{S}_{2}≤\frac{1}{2}{S}_{1}$，故③正确，该选项符合题意；
$\because EF$是变化的，而$AD$为定值，故④错误，该选项不符合题意；
综上，①②③正确.
故答案为：①②③.