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九年级数学填空题一般
题目
黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字.黄金矩形的长宽之比为黄金分割比,即矩形的短边为长边的5−12\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}倍.黄金分割比能够给画面带来美感,令人愉悦,在很多艺术品以及大自然中都能找到它.比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比.如图,用黄金矩形ABCDABCD框住整个蜗牛壳,之后作正方形ABFEABFE,得到黄金矩形CDEFCDEF,再作正方形DEGHDEGH,得到黄金矩形CFGH……CFGH\ldots \ldots,这样作下去,我们以每个小正方形边长为半径画弧线,然后连接起来,就是黄金螺旋.已知AB=5+12AB=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2},则阴影部分的面积为______.
知识点：黄金分割章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

根据题意，四边形ABCDABCD是黄金矩形，
∴AB=5−12AD\therefore AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AD，
∵AB=5+12\because AB=\frac{\sqrt{5}+1}{2}，
∴AD=5+12÷5−12=3+52\therefore AD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\div \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}，
∴DE=AD−AE=3+52−5+12=1\therefore DE=AD-AE=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1，
∴\therefore正方形DEGHDEGH边长为11，
∴\therefore阴影部分面积为12−90×π×12360=4−π41^{2}-\frac{90×π×{1}^{2}}{360}=\frac{4-π}{4}，
故答案为：4−π4\frac{4-π}{4}.

解析

根据题意，四边形ABCDABCD是黄金矩形，
∴AB=5−12AD\therefore AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AD，
∵AB=5+12\because AB=\frac{\sqrt{5}+1}{2}，
∴AD=5+12÷5−12=3+52\therefore AD=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\div \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}，
∴DE=AD−AE=3+52−5+12=1\therefore DE=AD-AE=\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1，
∴\therefore正方形DEGHDEGH边长为11，
∴\therefore阴影部分面积为12−90×π×12360=4−π41^{2}-\frac{90×π×{1}^{2}}{360}=\frac{4-π}{4}，
故答案为：4−π4\frac{4-π}{4}.

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