已知:如图$1$,在三角形$ABC$中,$\angle BAC=40^{\circ}$,$\angle C=65^{\circ}$,将线段$AC$沿直线$AB$平移得到线段$DE$,连结$AE$.

$(1)$当$\angle E=65^{\circ}$时,请说明$AE$∥$BC.$
$(2)$如图$2$,当$DE$在$AC$上方时,且$\angle E=2\angle BAE-29^{\circ}$时,求$\angle BAE$与$\angle EAC$的度数.
$(3)$在整个运动中,当$AE$垂直三角形$ABC$中的一边时,求出所有满足条件的$\angle E$的度数.