题目已知:如图
1,在三角形
ABC中,
∠BAC=40∘,
∠C=65∘,将线段
AC沿直线
AB平移得到线段
DE,连结
AE.
(1)当
∠E=65∘时,请说明
AE∥BC.(2)如图
2,当
DE在
AC上方时,且
∠E=2∠BAE−29∘时,求
∠BAE与
∠EAC的度数.
(3)在整个运动中,当
AE垂直三角形
ABC中的一边时,求出所有满足条件的
∠E的度数.
知识点：三角形内角和定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念
答案与解析
答案
(1)证明：
∵将线段
AC沿直线
AB平移得到线段
DE，
∴AC∥DE，
∴∠CAE=∠E=65∘，
∴∠C=∠DAE，
∴AE∥BC；
(2)∵将线段
AC沿直线
AB平移得到线段
DE，
∴DE∥AC，
∴∠BAC=∠BDE=40∘，
∠E=∠EAC，
∴∠E+∠BAE=40∘，
∵∠E=2∠BAE−29∘，
∴∠BAE=23∘，
∠E=17∘，
∴∠EAC=17∘；
(3)如图
2，当
AE⊥BC时，
∵∠BAC=40∘，
∠C=65∘，
∴∠ABC=75∘，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=15∘，
∵∠BDE=40∘，
∴∠E=25∘；
如图
3，当
AE⊥AC时，
∵AC∥DE，
∴∠E=∠CAE=90∘，
③如图
4，当
AE⊥AB时，
∵∠BAC=40∘，
∴∠CAE=90∘−∠BAC=50∘，
∵AC∥DE，
∴∠E=∠CAE=50∘，
综上所述：
∠E=25∘或
50∘或
90∘.
解析
(1)证明：
∵将线段
AC沿直线
AB平移得到线段
DE，
∴AC∥DE，
∴∠CAE=∠E=65∘，
∴∠C=∠DAE，
∴AE∥BC；
(2)∵将线段
AC沿直线
AB平移得到线段
DE，
∴DE∥AC，
∴∠BAC=∠BDE=40∘，
∠E=∠EAC，
∴∠E+∠BAE=40∘，
∵∠E=2∠BAE−29∘，
∴∠BAE=23∘，
∠E=17∘，
∴∠EAC=17∘；
(3)如图
2，当
AE⊥BC时，
∵∠BAC=40∘，
∠C=65∘，
∴∠ABC=75∘，
∵AE⊥BC，
∴∠BAE=15∘，
∵∠BDE=40∘，
∴∠E=25∘；
如图
3，当
AE⊥AC时，
∵AC∥DE，
∴∠E=∠CAE=90∘，
③如图
4，当
AE⊥AB时，
∵∠BAC=40∘，
∴∠CAE=90∘−∠BAC=50∘，
∵AC∥DE，
∴∠E=∠CAE=50∘，
综上所述：
∠E=25∘或
50∘或
90∘.
