$\left(1\right)\angle B$不可能是$\alpha$或$\beta$，
当$\angle A=\alpha$时，$\angle C=\beta =60^{\circ}$，$\alpha +2\beta =90^{\circ}$，不成立；
故$\angle A=\beta$，$\angle C=\alpha =60^{\circ}$，$\alpha +2\beta =90^{\circ}$，则$\beta =15^{\circ}$，
故答案为：$15^{\circ}$；
$(2)$①$\triangle BDC$是“近直角三角形”.
理由：设$\angle ACD=\angle DCB=\beta$，$\angle B=\alpha$，
则$\alpha +2\beta =90^{\circ}$，故$\triangle BDC$是“近直角三角形”；
②在$Rt\triangle ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，
$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=10$，
如图，过点$D$作$DM\bot BC$于点$M$，

$\because CD$平分$\angle ACB$，$DM\bot BC$，$DA\bot CA$，
$\therefore AD=DM$.
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle MCD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{AD=DM}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle ACD$≌$Rt\triangle MCD\left(HL\right).$
$\therefore AC=CM=8$.
$\therefore BM=AB-CM=2$.
设$AD=DM=x$，
在$Rt\triangle BDM$中，$DM=x$，$BM=2$，$DB=6-x$，
$\because DM^{2}+BM^{2}=DB^{2}$，
$\therefore x^{2}+2^{2}=\left(6-x\right)^{2}$，
$\therefore x=\frac{8}{3}$，
$\therefore BD=AB-AD=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$.

$\left(1\right)\angle B$不可能是$\alpha$或$\beta$，
当$\angle A=\alpha$时，$\angle C=\beta =60^{\circ}$，$\alpha +2\beta =90^{\circ}$，不成立；
故$\angle A=\beta$，$\angle C=\alpha =60^{\circ}$，$\alpha +2\beta =90^{\circ}$，则$\beta =15^{\circ}$，
故答案为：$15^{\circ}$；
$(2)$①$\triangle BDC$是“近直角三角形”.
理由：设$\angle ACD=\angle DCB=\beta$，$\angle B=\alpha$，
则$\alpha +2\beta =90^{\circ}$，故$\triangle BDC$是“近直角三角形”；
②在$Rt\triangle ABC$中，$AB=6$，$AC=8$，
$BC=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=10$，
如图，过点$D$作$DM\bot BC$于点$M$，

$\because CD$平分$\angle ACB$，$DM\bot BC$，$DA\bot CA$，
$\therefore AD=DM$.
在$Rt\triangle ACD$和$Rt\triangle MCD$中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CD}\\{AD=DM}\end{array}\right.$，
$\therefore Rt\triangle ACD$≌$Rt\triangle MCD\left(HL\right).$
$\therefore AC=CM=8$.
$\therefore BM=AB-CM=2$.
设$AD=DM=x$，
在$Rt\triangle BDM$中，$DM=x$，$BM=2$，$DB=6-x$，
$\because DM^{2}+BM^{2}=DB^{2}$，
$\therefore x^{2}+2^{2}=\left(6-x\right)^{2}$，
$\therefore x=\frac{8}{3}$，
$\therefore BD=AB-AD=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$.