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九年级数学解答题一般
题目
宽与长的比是5−12\frac{\sqrt{5}-1}{2}的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示):
第一步:作一个正方形ABCDABCD；
第二步:分别取ADAD,BCBC的中点MM,NN,连接MNMN；
第三步:以NN为圆心,NDND长为半径画弧,交BCBC的延长线于EE；
第四步:过EE作EF⊥ADEF\bot AD,交ADAD的延长线于FF.
请你根据以上作法,证明矩形DCEFDCEF为黄金矩形.
知识点：勾股定理、正方形的性质、黄金分割章节：第24章 相似三角形 / 第2节 比例线段 / 24.2 比例线段

答案与解析

答案

证明：在正方形ABCDABCD中，取AB=2aAB=2a，
∵N\because N为BCBC的中点，
∴NC=12BC=a\therefore NC=\frac{1}{2}BC=a.
在Rt△DNCRt\triangle DNC中，ND=NC2+CD2=a2+(2a)2=5aND=\sqrt{N{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{{a^2}+{{(2a)}^2}}=\sqrt{5}a.
又∵NE=ND\because NE=ND，
∴CE=NE−NC=(5  −1)a\therefore CE=NE-NC=(\sqrt{5\;}-1)a.
∴CECD=(5−1)a2a=5−12\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
故矩形DCEFDCEF为黄金矩形.

解析

证明：在正方形ABCDABCD中，取AB=2aAB=2a，
∵N\because N为BCBC的中点，
∴NC=12BC=a\therefore NC=\frac{1}{2}BC=a.
在Rt△DNCRt\triangle DNC中，ND=NC2+CD2=a2+(2a)2=5aND=\sqrt{N{C^2}+C{D^2}}=\sqrt{{a^2}+{{(2a)}^2}}=\sqrt{5}a.
又∵NE=ND\because NE=ND，
∴CE=NE−NC=(5  −1)a\therefore CE=NE-NC=(\sqrt{5\;}-1)a.
∴CECD=(5−1)a2a=5−12\therefore \frac{CE}{CD}=\frac{(\sqrt{5}-1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.
故矩形DCEFDCEF为黄金矩形.

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