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八年级数学解答题一般
题目
利用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"的结论解决下列问题:
(1)(1)如图11,在△ABC\triangle ABC中,∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ},ADAD是斜边BCBC的中线,BC=10BC=10,直接写出ADAD的长度.
(2)(2)已知△ABC\triangle ABC和△ADE\triangle ADE都是等腰直角三角形,∠CAB=∠AED=90∘\angle CAB=\angle AED=90^{\circ},连接CDCD、BDBD,点FF是BDBD的中点,连接EFEF.①如图22,点BB在边AEAE上时,求证:EF=12CDEF=\frac{1}{2}CD.
②如图33,把△ABC\triangle ABC绕点AA逆时针旋转,顶点BB落在边ADAD上时,线段EFEF和CDCD又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明.
知识点：等腰三角形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，ADAD是斜边BCBC的中线，BC=10BC=10，
∴AD=12BC=12×10=5\therefore AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5；
(2)(2)①证明：∵EA=ED\because EA=ED，∠AED=90∘\angle AED=90^{\circ}，
∴∠EAD=∠EDA=45∘\therefore \angle EAD=\angle EDA=45^{\circ}，
∵F\because F是BDBD的中点，
∴EF=12DB\therefore EF=\frac{1}{2}DB，
∵∠CAB=90∘\because \angle CAB=90^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAD=45∘\therefore \angle CAD=\angle BAD=45^{\circ}，
∵AC=AB\because AC=AB，
∴AD\therefore AD垂直平分线段BCBC，
∴DC=DB\therefore DC=DB，
∴EF=12CD\therefore EF=\frac{1}{2}CD.
②结论：EF=12CDEF=\frac{1}{2}CD.
证明：取CDCD的中点MM，连接AMAM，EMEM，EMEM交ADAD于点NN，

∵∠CAD=90∘\because \angle CAD=90^{\circ}，
∴AM=CM=DM\therefore AM=CM=DM，
∵EA=ED\because EA=ED，
∴EM\therefore EM垂直平分线段ADAD，
∴AN=ND\therefore AN=ND，
∵\because点FF是BDBD的中点，
∴BF=DF\therefore BF=DF，
∴AB+BN=NF+FD=NF+NB+NF\therefore AB+BN=NF+FD=NF+NB+NF，
∴NF=12AB\therefore NF=\frac{1}{2}AB，
过点MM作MH⊥ACMH\bot AC，垂足为HH，
∵∠AHM=∠ANM=90∘\because \angle AHM=\angle ANM=90^{\circ}，∠HMA=∠MAN\angle HMA=\angle MAN，AM=AMAM=AM，
∴△AHM\therefore \triangle AHM≌△MNA(AAS)\triangle MNA\left(AAS\right)，
∴MN=AH=12AC\therefore MN=AH=\frac{1}{2}AC，
∴MN=NF\therefore MN=NF，
∵AN=NE\because AN=NE，∠ANM=∠ENF=90∘\angle ANM=\angle ENF=90^{\circ}，
∴△AMN\therefore \triangle AMN≌△EFN(SAS)\triangle EFN\left(SAS\right)，
∴EF=AM\therefore EF=AM，
∴EF=12CD\therefore EF=\frac{1}{2}CD.

解析

(1)(1)∵∠BAC=90∘\because \angle BAC=90^{\circ}，ADAD是斜边BCBC的中线，BC=10BC=10，
∴AD=12BC=12×10=5\therefore AD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5；
(2)(2)①证明：∵EA=ED\because EA=ED，∠AED=90∘\angle AED=90^{\circ}，
∴∠EAD=∠EDA=45∘\therefore \angle EAD=\angle EDA=45^{\circ}，
∵F\because F是BDBD的中点，
∴EF=12DB\therefore EF=\frac{1}{2}DB，
∵∠CAB=90∘\because \angle CAB=90^{\circ}，
∴∠CAD=∠BAD=45∘\therefore \angle CAD=\angle BAD=45^{\circ}，
∵AC=AB\because AC=AB，
∴AD\therefore AD垂直平分线段BCBC，
∴DC=DB\therefore DC=DB，
∴EF=12CD\therefore EF=\frac{1}{2}CD.
②结论：EF=12CDEF=\frac{1}{2}CD.
证明：取CDCD的中点MM，连接AMAM，EMEM，EMEM交ADAD于点NN，

∵∠CAD=90∘\because \angle CAD=90^{\circ}，
∴AM=CM=DM\therefore AM=CM=DM，
∵EA=ED\because EA=ED，
∴EM\therefore EM垂直平分线段ADAD，
∴AN=ND\therefore AN=ND，
∵\because点FF是BDBD的中点，
∴BF=DF\therefore BF=DF，
∴AB+BN=NF+FD=NF+NB+NF\therefore AB+BN=NF+FD=NF+NB+NF，
∴NF=12AB\therefore NF=\frac{1}{2}AB，
过点MM作MH⊥ACMH\bot AC，垂足为HH，
∵∠AHM=∠ANM=90∘\because \angle AHM=\angle ANM=90^{\circ}，∠HMA=∠MAN\angle HMA=\angle MAN，AM=AMAM=AM，
∴△AHM\therefore \triangle AHM≌△MNA(AAS)\triangle MNA\left(AAS\right)，
∴MN=AH=12AC\therefore MN=AH=\frac{1}{2}AC，
∴MN=NF\therefore MN=NF，
∵AN=NE\because AN=NE，∠ANM=∠ENF=90∘\angle ANM=\angle ENF=90^{\circ}，
∴△AMN\therefore \triangle AMN≌△EFN(SAS)\triangle EFN\left(SAS\right)，
∴EF=AM\therefore EF=AM，
∴EF=12CD\therefore EF=\frac{1}{2}CD.

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