利用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"的结论解决下列问题:
$(1)$如图$1$,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC=90^{\circ}$,$AD$是斜边$BC$的中线,$BC=10$,直接写出$AD$的长度.
$(2)$已知$\triangle ABC$和$\triangle ADE$都是等腰直角三角形,$\angle CAB=\angle AED=90^{\circ}$,连接$CD$、$BD$,点$F$是$BD$的中点,连接$EF$.①如图$2$,点$B$在边$AE$上时,求证:$EF=\frac{1}{2}CD$.
②如图$3$,把$\triangle ABC$绕点$A$逆时针旋转,顶点$B$落在边$AD$上时,线段$EF$和$CD$又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并加以证明.