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八年级数学填空题一般
题目
如图①,等腰△ABC\triangle ABC中,AB=ACAB=AC,点DD是ACAC上一动点,点EE、PP分别在BDBD延长线上,且AB=AEAB=AE,CP=EPCP=EP.
【问题思考】在图①中,求证:∠BPC=∠BAC\angle BPC=\angle BAC；
【问题再探】若∠BAC=60∘\angle BAC=60^{\circ},如图②,探究线段APAP、BPBP、EPEP之间的数量关系,并证明你的结论；
【问题拓展】若∠BAC=90∘\angle BAC=90^{\circ}且BDBD平分∠ABC\angle ABC,如图③,若BD=5BD=5,则PCPC的值为______.
知识点：线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质章节：第13章 三角形 / 13.1 三角形的概念

答案与解析

答案

(1)(1)证明：∵AB=AC\because AB=AC，AB=AEAB=AE，
∴AC=AE\therefore AC=AE，∠ABE=∠E\angle ABE=\angle E.
在△ACP\triangle ACP和△AEP\triangle AEP中，
{AC=AECP=EPAP=AP\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{CP=EP}\\{AP=AP}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△AEP(SSS)\triangle AEP\left(SSS\right)，
∴∠ACP=∠E\therefore \angle ACP=\angle E，
∴∠ACP=∠ABE\therefore \angle ACP=\angle ABE.
∵∠ADB=∠CDP\because \angle ADB=\angle CDP，
∴∠BPC=∠BAC\therefore \angle BPC=\angle BAC；
(2)(2)AP+EP=BPAP+EP=BP；理由如下：
如图②，在BPBP上取点GG，使PG=PCPG=PC，连接GCGC.

∵∠BAC=60∘\because \angle BAC=60^{\circ}，
∴∠BPC=60∘\therefore \angle BPC=60^{\circ}，
∴△GPC\therefore \triangle GPC为等边三角形，
∴PG=PC=CG\therefore PG=PC=CG.
∵AB=AC\because AB=AC，
∴△ABC\therefore \triangle ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠GCP=60∘\therefore \angle ACB=\angle GCP=60^{\circ}，
∴∠ACB−∠ACG=∠GCP−∠ACG\therefore \angle ACB-\angle ACG=\angle GCP-\angle ACG，即∠BCG=∠ACP\angle BCG=\angle ACP.
又∵BC=AC\because BC=AC，GC=PCGC=PC，
∴△BCG\therefore \triangle BCG≌△ACP(SAS)\triangle ACP\left(SAS\right)，
∴BG=AP\therefore BG=AP.
∵EP=CP\because EP=CP
∴EP=GP\therefore EP=GP，
∴BP=BG+GP=AP+EP\therefore BP=BG+GP=AP+EP；
(3)(3)延长BABA，CPCP交于点HH，如图③，

∵∠BPC=∠BAC=90∘\because \angle BPC=\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BPC=∠BPH=90∘\therefore \angle BPC=\angle BPH=90^{\circ}.
∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，
∴∠ABP=∠CBP\therefore \angle ABP=\angle CBP.
又∵BP=BP\because BP=BP，
∴△HBP\therefore \triangle HBP≌△CBP(ASA)\triangle CBP\left(ASA\right)，
∴CP=HP=12CH\therefore CP=HP=\frac{1}{2}CH.
∵∠ABD+∠ADB=90∘=∠ACH+∠CDP\because \angle ABD+\angle ADB=90^{\circ}=\angle ACH+\angle CDP，∠ADB=∠CDP\angle ADB=\angle CDP，
∴∠ABD=∠ACH\therefore \angle ABD=\angle ACH.
又∵∠BAC=∠HAC=90∘\because \angle BAC=\angle HAC=90^{\circ}，BA=ACBA=AC，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAH(ASA)\triangle CAH\left(ASA\right)，
∴BD=CH=2CP\therefore BD=CH=2CP，
∴CP=12BD=52\therefore CP=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}，
故答案为：52\frac{5}{2}.

解析

(1)(1)证明：∵AB=AC\because AB=AC，AB=AEAB=AE，
∴AC=AE\therefore AC=AE，∠ABE=∠E\angle ABE=\angle E.
在△ACP\triangle ACP和△AEP\triangle AEP中，
{AC=AECP=EPAP=AP\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{CP=EP}\\{AP=AP}\end{array}\right.，
∴△ACP\therefore \triangle ACP≌△AEP(SSS)\triangle AEP\left(SSS\right)，
∴∠ACP=∠E\therefore \angle ACP=\angle E，
∴∠ACP=∠ABE\therefore \angle ACP=\angle ABE.
∵∠ADB=∠CDP\because \angle ADB=\angle CDP，
∴∠BPC=∠BAC\therefore \angle BPC=\angle BAC；
(2)(2)AP+EP=BPAP+EP=BP；理由如下：
如图②，在BPBP上取点GG，使PG=PCPG=PC，连接GCGC.

∵∠BAC=60∘\because \angle BAC=60^{\circ}，
∴∠BPC=60∘\therefore \angle BPC=60^{\circ}，
∴△GPC\therefore \triangle GPC为等边三角形，
∴PG=PC=CG\therefore PG=PC=CG.
∵AB=AC\because AB=AC，
∴△ABC\therefore \triangle ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠GCP=60∘\therefore \angle ACB=\angle GCP=60^{\circ}，
∴∠ACB−∠ACG=∠GCP−∠ACG\therefore \angle ACB-\angle ACG=\angle GCP-\angle ACG，即∠BCG=∠ACP\angle BCG=\angle ACP.
又∵BC=AC\because BC=AC，GC=PCGC=PC，
∴△BCG\therefore \triangle BCG≌△ACP(SAS)\triangle ACP\left(SAS\right)，
∴BG=AP\therefore BG=AP.
∵EP=CP\because EP=CP
∴EP=GP\therefore EP=GP，
∴BP=BG+GP=AP+EP\therefore BP=BG+GP=AP+EP；
(3)(3)延长BABA，CPCP交于点HH，如图③，

∵∠BPC=∠BAC=90∘\because \angle BPC=\angle BAC=90^{\circ}，
∴∠BPC=∠BPH=90∘\therefore \angle BPC=\angle BPH=90^{\circ}.
∵BD\because BD平分∠ABC\angle ABC，
∴∠ABP=∠CBP\therefore \angle ABP=\angle CBP.
又∵BP=BP\because BP=BP，
∴△HBP\therefore \triangle HBP≌△CBP(ASA)\triangle CBP\left(ASA\right)，
∴CP=HP=12CH\therefore CP=HP=\frac{1}{2}CH.
∵∠ABD+∠ADB=90∘=∠ACH+∠CDP\because \angle ABD+\angle ADB=90^{\circ}=\angle ACH+\angle CDP，∠ADB=∠CDP\angle ADB=\angle CDP，
∴∠ABD=∠ACH\therefore \angle ABD=\angle ACH.
又∵∠BAC=∠HAC=90∘\because \angle BAC=\angle HAC=90^{\circ}，BA=ACBA=AC，
∴△BAD\therefore \triangle BAD≌△CAH(ASA)\triangle CAH\left(ASA\right)，
∴BD=CH=2CP\therefore BD=CH=2CP，
∴CP=12BD=52\therefore CP=\frac{1}{2}BD=\frac{5}{2}，
故答案为：52\frac{5}{2}.

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