$\left(1\right)\because$有理数$a$，$b$满足$|a+1|+|b-5|=0$，
$\therefore a+1=0$，$b-5=0$，
$\therefore a=-1$，$b=5$.
$\because$有理数$c$比$a$小$1$，
$\therefore c=-1-1=-2$，
$\therefore$点$A$，$B$，$C$在数轴上的位置如图所示：
；
$(2)$①$\because$点$M$从点$A$出发沿数轴正方向运动，点$N$同时从点$B$出发沿数轴负方向运动，
由（1）知点$A$在数轴上对应的数为$-1$，点$B$在数轴上对应的数为$5$，
$\therefore$运动前点$M$，$N$之间的距离为$|-1-5|=6$；
②$\because$点$M$的速度是每秒$3$个单位长度，点$N$的速度是每秒$1$个单位长度，
$\therefore$运动$t$秒后，点$M$与点$A$的距离为$3t$，点$N$与点$B$的距离为$t$，
$\therefore$运动$t$秒后，点$M$在数轴上对应的数为$-1+3t$，点$N$在数轴上对应的数为$5-t$.

$\left(1\right)\because$有理数$a$，$b$满足$|a+1|+|b-5|=0$，
$\therefore a+1=0$，$b-5=0$，
$\therefore a=-1$，$b=5$.
$\because$有理数$c$比$a$小$1$，
$\therefore c=-1-1=-2$，
$\therefore$点$A$，$B$，$C$在数轴上的位置如图所示：
；
$(2)$①$\because$点$M$从点$A$出发沿数轴正方向运动，点$N$同时从点$B$出发沿数轴负方向运动，
由（1）知点$A$在数轴上对应的数为$-1$，点$B$在数轴上对应的数为$5$，
$\therefore$运动前点$M$，$N$之间的距离为$|-1-5|=6$；
②$\because$点$M$的速度是每秒$3$个单位长度，点$N$的速度是每秒$1$个单位长度，
$\therefore$运动$t$秒后，点$M$与点$A$的距离为$3t$，点$N$与点$B$的距离为$t$，
$\therefore$运动$t$秒后，点$M$在数轴上对应的数为$-1+3t$，点$N$在数轴上对应的数为$5-t$.