【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点$A$、点$B$表示的数分别为$a$、$b$,则$A$,$B$两点之间的距离$AB=|a-b|$,线段$AB$的中点表示的数为$\frac{a+b}{2}$.
【问题情境】
如图,数轴上点$A$表示的数为$-2$,点$B$表示的数为$8$,点$P$从点$A$出发,以每秒$3$个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点$Q$从点$B$出发,以每秒$2$个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为$t$秒$\left(t \gt 0\right)$.
【综合运用】
$(1)$填空:用含$t$的代数式表示:$t$秒后,点$P$表示的数为______；点$Q$表示的数为______；
$(2)$求当$t$为何值时,$P$、$Q$两点相遇,并写出相遇点所表示的数；
$(3)$求当$t$为何值时,$PQ=\frac{1}{2}AB$；
$(4)$若点$M$为$PA$的中点,点$N$为$PB$的中点,点$P$在运动过程中,线段$MN$的长度是否发生变化?若变化,请说明理由；若不变,请求出线段$MN$的长.