C

设$\angle BAC=2\alpha$，$\angle ACB=2\beta$，
$\because AD$平分$\angle BAC$交$BC$于点$D$，$CE$平分$\angle ACB$交$AB$于点$E$，$\angle ABC=60^{\circ}$，
$\therefore \angle EAF=\angle FAC=\alpha$，$\angle ACF=\angle DCF=\beta$，$2\alpha +2\beta =180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，
$\therefore \alpha +\beta =60^{\circ}$；
在$\triangle AFC$中，$\angle AFC=180^{\circ}-\left(\angle CAF+\angle ACF\right)=180^{\circ}-\left(\alpha +\beta \right)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，
故①说法正确，符合题意；
$\because AD$是$\angle BAC$的角平分线，不是三角形的中线，
$\therefore BD$与$CD$不一定相等，故$S_{\triangle ABD}$与$S_{\triangle ADC}$不一定相等，
故②说法错误，不符合题意；
若$CE\bot AB$，则$\angle CEA=\angle CEB=90^{\circ}$，
$\because CE$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle ACF=\angle DCF=\beta$，
在$\triangle ACE$和$\triangle BCE$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠CEB}\\{CE=CE}\\{∠ACE=∠BCE}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle ACE$≌$\triangle BCE\left(ASA\right)$，
$\therefore AE=BE$，
$\therefore AB=2AE$，
故③说法正确，符合题意；
如图$1$，在$AC$边上取$AG=AE$，连接$FG$，

$\because AD$平分$\angle BAC$，
$\therefore \angle EAF=\angle GAF$，
在$\triangle AEF$和$\triangle AGF$中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AG}\\{∠EAF=∠GAF}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle AEF$≌$\triangle AGF\left(ASA\right)$，
$\therefore \angle AFE=\angle AFG$，$S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AGF}$，
$\because \angle AFC=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AFE=\angle CFD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AFE=\angle AFG=\angle CFG=\angle CFD=60^{\circ}$，
又$\because CE$平分$\angle ACB$，
$\therefore \angle ACF=\angle DCF=\beta$，
$\therefore \triangle FDC$≌$\triangle FGC\left(ASA\right)$，
$\therefore CD=CG$，$S_{\triangle FDC}=S_{\triangle FGC}$，
$\therefore AC=AG+CG=AE+CD$，
故④说法正确，符合题意；
过$G$作$GM\bot AF$于$M$，$GN\bot CF$于$N$，如图$2$，

$\because \angle AFG=\angle CFG=60^{\circ}$，
$\therefore GM=GN$，
$\because S_{\triangle AEF}=S_{\triangle AGF}$，$S_{\triangle FDC}=S_{\triangle FGC}$，
$\therefore {S}_{△AEF}：{S}_{△FDC}={S}_{△AGF}：{S}_{△FGC}=(\frac{1}{2}GM•AF)：(\frac{1}{2}GN•FC)=AF：FC$，
故⑤说法正确，符合题意；
综上，说法正确的有①③④⑤，共$4$个.
故选：$C$.