$(1)$证明：方程整理成一般形式为$x^{2}-\left(2k+1\right)x+4k-2=0$
$\Delta =\left[-\left(2k+1\right)\right]^{2}-4\times 1\times \left(4k-2\right)$
$=4k^{2}-12k+9$
$=4(k-\frac{3}{2})^{2}$，
$\because$无论$k$取什么实数值，$(k-\frac{3}{2})^{2}\geqslant 0$，
$\therefore \triangle \geqslant 0$，
所以无论$k$取什么实数值，方程总有实数根；
$(2)$当$b=c$时，$k-\frac{3}{2}=0$，解得$k=\frac{3}{2}$，则$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}(2k+1)=2$；
当两边长$b$、$c$有一边是$4$时，$\left(4-k\right)^{2}-4=k^{2}-4k+2$，解得$k=\frac{5}{2}$，
关于$x$的方程$\left(x-k\right)^{2}-x=k^{2}-4k+2$即$x^{2}-6x+8=0$，$x=2$或$x=4$，
等腰$\triangle ABC$的三边为$2$、$2$、$4(构不成三角形)$或$2$、$4$、$4$，
因此$\triangle ABC$的周长为$2+4+4=10$.

$(1)$证明：方程整理成一般形式为$x^{2}-\left(2k+1\right)x+4k-2=0$
$\Delta =\left[-\left(2k+1\right)\right]^{2}-4\times 1\times \left(4k-2\right)$
$=4k^{2}-12k+9$
$=4(k-\frac{3}{2})^{2}$，
$\because$无论$k$取什么实数值，$(k-\frac{3}{2})^{2}\geqslant 0$，
$\therefore \triangle \geqslant 0$，
所以无论$k$取什么实数值，方程总有实数根；
$(2)$当$b=c$时，$k-\frac{3}{2}=0$，解得$k=\frac{3}{2}$，则$x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}(2k+1)=2$；
当两边长$b$、$c$有一边是$4$时，$\left(4-k\right)^{2}-4=k^{2}-4k+2$，解得$k=\frac{5}{2}$，
关于$x$的方程$\left(x-k\right)^{2}-x=k^{2}-4k+2$即$x^{2}-6x+8=0$，$x=2$或$x=4$，
等腰$\triangle ABC$的三边为$2$、$2$、$4(构不成三角形)$或$2$、$4$、$4$，
因此$\triangle ABC$的周长为$2+4+4=10$.