C

$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线相交于点$O$，
$\therefore \angle OBA=\frac{1}{2}\angle CBA$，$\angle OAB=\frac{1}{2}\angle CAB$，
$\therefore \angle AOB=180^{\circ}-\angle OBA-\angle OAB$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CBA-\frac{1}{2}\angle CAB$
$=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle C)$
$=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C$，
故①正确；
$\because \angle C=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAC+\angle ABC=120^{\circ}$，
$\because AE$，$BF$分别是$\angle BAC$与$ABC$的平分线，
$\therefore \angle OAB+\angle OBA=\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ABC)=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOB=120^{\circ}$，
$\therefore \angle AOF=60^{\circ}$，
$\therefore \angle BOE=60^{\circ}$，
如图，在$AB$上取一点$H$，使$BH=BE$，

$\because BF$是$\angle ABC$的角平分线，
$\therefore \angle HBO=\angle EBO$，
在$\triangle HBO$和$\triangle EBO$中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=BE}\\{∠HBO=∠EBO}\\{BO=BO}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle HBO$≌$\triangle EBO\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle BOH=\angle BOE=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}$，
$\therefore \angle AOH=\angle AOF$，
在$\triangle HAO$和$\triangle FAO$中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HAO=∠FAO}\\{AO=AO}\\{∠AOH=∠AOF}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle HAO$≌$\triangle FAO\left(ASA\right)$，
$\therefore AF=AH$，
$\therefore AB=BH+AH=BE+AF$，
故②正确；
作$OH\bot AC$于$H$，$OM\bot AB$于$M$，

$\because \angle BAC$和$\angle ABC$的平分线相交于点$O$，
$\therefore$点$O$在$\angle C$的平分线上，
$\therefore OH=OM=OD=a$，
$\because AB+AC+BC=2b$，
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times AB\cdot OM+\frac{1}{2}\times AC\cdot OH+\frac{1}{2}\times BC\cdot OD=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)\cdot a=ab$，
故③正确.
故选：$C$.