C

$\because$等腰三角形的一个外角等于$110^{\circ}$，
$\therefore$该等腰三角形的一个内角为$70^{\circ}$，
当这个内角为顶角时，则顶角为$70^{\circ}$，
当这个内角为底角时，则顶角为$180^{\circ}-70^{\circ}-70^{\circ}=40^{\circ}$.
综上可知，它的顶角的度数为$40^{\circ}$或$70^{\circ}$.
故选：$C$.