$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，且$\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore$有以下两种情况：
①当点$C$在$AB$的右侧时，过点$B$作$EF$∥$x$轴，过点$A$作$AE\bot EF$于$E$，过点$C$作$CF\bot EF$于$F$，$FC$的延长线交$x$轴于$H$，如图$1$所示：

则$\angle AEB=\angle BFC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB+\angle ABE=90^{\circ}$，
$\because A\left(1,-1\right)$，$B\left(2,2\right)$，
$\therefore AE=3$，$BE=1$，
$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，且$\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore AB=CB$，$ABC=90^{\circ}$，
$\because \angle CBF+\angle ABE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB=\angle CBF$，
在$\triangle EAB$和$\triangle CBF$中，
$\angle AEB=\angle BFC=90^{\circ}$，$\angle EAB=\angle CBF$，$AB=CB$，
$\therefore \triangle EAB$≌$\triangle CBF\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=CF=1$，$AE=BF=3$，
$\therefore OH=2+3=5$，$CH=2-1=1$，
$\therefore$点$C$的坐标为$\left(5,1\right)$；
②当点$C$在$AB$的左侧时，过点$B$作$EF$∥$y$轴，过点$C$作$CE\bot EF$于$E$，$CE$交$y$轴于$H$，过点$A$作$AF\bot EF$于$F$，如图$2$所示：

$\because A\left(1,-1\right)$，$B\left(2,2\right)$，
$\therefore BF=3$，$AE=1$，
同理可证：$\triangle ABF$≌$\triangle BCE\left(AAS\right)$，
$\therefore AF=BE=1$，$BF=CE=3$，
$\therefore OH=2+1=3$，$CH=3-2=1$，
$\therefore$点$C$的坐标为$\left(-1,3\right)$，
综上所述：点$C$的坐标为$\left(5,1\right)$或$\left(-1,3\right)$.
故答案为：$\left(5,1\right)$或$\left(-1,3\right)$.

$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，且$\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore$有以下两种情况：
①当点$C$在$AB$的右侧时，过点$B$作$EF$∥$x$轴，过点$A$作$AE\bot EF$于$E$，过点$C$作$CF\bot EF$于$F$，$FC$的延长线交$x$轴于$H$，如图$1$所示：

则$\angle AEB=\angle BFC=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB+\angle ABE=90^{\circ}$，
$\because A\left(1,-1\right)$，$B\left(2,2\right)$，
$\therefore AE=3$，$BE=1$，
$\because \triangle ABC$为等腰直角三角形，且$\angle B=90^{\circ}$，
$\therefore AB=CB$，$ABC=90^{\circ}$，
$\because \angle CBF+\angle ABE=90^{\circ}$，
$\therefore \angle EAB=\angle CBF$，
在$\triangle EAB$和$\triangle CBF$中，
$\angle AEB=\angle BFC=90^{\circ}$，$\angle EAB=\angle CBF$，$AB=CB$，
$\therefore \triangle EAB$≌$\triangle CBF\left(AAS\right)$，
$\therefore BE=CF=1$，$AE=BF=3$，
$\therefore OH=2+3=5$，$CH=2-1=1$，
$\therefore$点$C$的坐标为$\left(5,1\right)$；
②当点$C$在$AB$的左侧时，过点$B$作$EF$∥$y$轴，过点$C$作$CE\bot EF$于$E$，$CE$交$y$轴于$H$，过点$A$作$AF\bot EF$于$F$，如图$2$所示：

$\because A\left(1,-1\right)$，$B\left(2,2\right)$，
$\therefore BF=3$，$AE=1$，
同理可证：$\triangle ABF$≌$\triangle BCE\left(AAS\right)$，
$\therefore AF=BE=1$，$BF=CE=3$，
$\therefore OH=2+1=3$，$CH=3-2=1$，
$\therefore$点$C$的坐标为$\left(-1,3\right)$，
综上所述：点$C$的坐标为$\left(5,1\right)$或$\left(-1,3\right)$.
故答案为：$\left(5,1\right)$或$\left(-1,3\right)$.