C

当$m\leqslant 0$时，$|m|+m=-m+m=0$，
当$m \gt 0$时，$|m|+m=m+m=2m \gt 0$，
综上，$|m|+m\geqslant 0$，即$m$可能为$0$，也可能为正数，不可能为负数.
故选：$C$.