如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图，在$\triangle ABC$中，$AB=AC=1$，$∠BAC=108°$，点$D$在边$BC$上，连接$AD$，若$\dfrac{BD}{DC}=k(k< 1).$
$(1)$在图中求作$AD$，使得$AD$是$\triangle ABC$的自相似分割线；
$($要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹$)$；
$(2)$在$(1)$的条件下，求$k$的值．