如图在$CD$的下方作等边$\triangle CDT$，
$\because \angle CDT=\angle QDP=60^{\circ}$，$DP=DQ$，$DC=DT$，
$\therefore \angle CDP=\angle QDT$，
在$\triangle CDP$和$\triangle TDQ$中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{∠CDP=TDQ}\\{DC=DT}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CDP$≌$\triangle TDQ\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle DCP=\angle DTQ=90^{\circ}$，
$\because \angle CTD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CTQ=30^{\circ}$，
$\therefore$点$Q$在射线$TQ$上运动（点$T$是定点，$\angle CTQ$是定值），
当$CQ\bot TQ$时，$CQ$的值最小，最小值$=\frac{1}{2}CT=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}BC=1$.
故答案为：$1$.

如图在$CD$的下方作等边$\triangle CDT$，
$\because \angle CDT=\angle QDP=60^{\circ}$，$DP=DQ$，$DC=DT$，
$\therefore \angle CDP=\angle QDT$，
在$\triangle CDP$和$\triangle TDQ$中，
$\left\{\begin{array}{l}{DP=DQ}\\{∠CDP=TDQ}\\{DC=DT}\end{array}\right.$，
$\therefore \triangle CDP$≌$\triangle TDQ\left(SAS\right)$，
$\therefore \angle DCP=\angle DTQ=90^{\circ}$，
$\because \angle CTD=60^{\circ}$，
$\therefore \angle CTQ=30^{\circ}$，
$\therefore$点$Q$在射线$TQ$上运动（点$T$是定点，$\angle CTQ$是定值），
当$CQ\bot TQ$时，$CQ$的值最小，最小值$=\frac{1}{2}CT=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}BC=1$.
故答案为：$1$.