C

$\because |x|=4$，$|y|=5$，
$\therefore x=\pm 4$，$y=\pm 5$.
$\because xy \lt 0$，
$\therefore x=4$，$y=-5$或$x=-4$，$y=5$.
当$x=4$，$y=-5$时，$x+y=4+\left(-5\right)=-1$；
当$x=-4$，$y=5$时，$x+y=-4+5=1$.
故选：$C$.